极限习题1.3,第20题cosX-1除以sin²X的极限为啥是-1/2 详解,求

来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/04/27 15:13:05

极限习题1.3,第20题
cosX-1除以sin²X的极限为啥是-1/2
详解,求

说明：此题应该是求lim(x->0)[(cosx-1)/sin²x]=?
解法一：原式=lim(x->0)[(-sinx)/(2sinx*cosx)] (0/0型极限,应用罗比达法则)
=(-1/2)lim(x->0)(1/cosx)
=(-1/2)*1
=-1/2；
解法二：原式=lim(x->0)[-2sin²(x/2)/sin²x] (应用半角公式)
=(-1/2)lim(x->0){[sin²(x/2)/(x/2)²]*[x²/sin²x]}
=(-1/2){lim(x->0){[sin(x/2)/(x/2)]}²*[lim(x->0)(x/sinx)]²
=(-1/2)*1²*1² (应用重要极限lim(z->0)(sinz/z)=1)
=-1/2.

你可以记一下常用的等价无穷小，cosx-1~(-1/2)x^2，sinx~x

我想你的重点是没有理解为什么是负的吧。
如果是这样的话，不妨想一下cosX的值域[-1,1],因此cosX在未取X=0时始终比1小，因此前者为负数，后者为正数，余数肯定为负了。
如果需要帮忙，下来可以提一下。

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