用导数的方法求椭圆的内接矩形中面积最大的矩形的面积椭圆标准方程.

来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/06 01:38:36

用导数的方法求椭圆的内接矩形中面积最大的矩形的面积
椭圆标准方程.

用导数求很麻烦的……
设椭圆为x²/a²+y²/b²=1
在椭圆Ⅰ象限部分取一点P(x,y),x＞0,y＞0,则内接矩形的面积S=4xy
由椭圆方程得到y=b√(1-x²/a²)
带入,得到S=4bx√(1-x²/a²)
两边对x求导：dS/dx=4b(√(a²-x²)-x²/√(a²-x²))/a
令dS/dx=0,解得x=√2a/2
则Smax=2ab
其实用参数方程是最简单的……
设椭圆的方程为x=asint,y=bcost
在椭圆上取一个点P(x,y)(x＞0,y＞0),则内接矩形的面积S=4xy=2absin2t
由于sin2t∈[-1,1]
∴Smax=2ab

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