学帮网求解x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0 （范围是实数+虚数范围）
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/05 08:32:36
求解x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0 （范围是实数+虚数范围）
x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
=x^3(x^2+x+1)+(x^2+x+1)
= (x^3+1)(x^2+x+1)
= (x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)
= 0
从而有
x+1=0或x^2-x+1=0或x^2+x+1=0
解得
（1）由x+1=0得实数根x=-1
（2）由x^2-x+1=0,有
x^2-x+1=（x-1/2)^2+3/4=0
即（x-1/2)^2=-3/4
x-1/2=±√3/2i
从而解得两个虚数根
x=(1+√3i)/2或x=(1-√3i)/2 （注：√3为根号3,虚数i²=-1）
（3）由x^2+x+1=0,有
或x^2+x+1 =(x+1/2)^2+3/4=0
即（x+1/2)^2=-3/4
x+1/2=±√3/2i
从而解得两个虚数根
x=(-1+√3i)/2或x=(-1-√3i)/2
所以原方程的根有：
x=-1 或x=(1+√3i)/2或x=(1-√3i)/2 或x=(-1+√3i)/2或x=(-1-√3i)/2
如果不明白请追问,期望帮上你的忙!
原式变为x^4（x+1）+x^2（x+1）+（x+1）=0
（x+1）（x^4+x^2+1）=0
x+1=0
x1=-1
x^4+x^2+1=0
设y=x^2
上式为：
y^2+y+1=0
y=(-1±√3i)/2
x^2=y
x^2=(-1±√3i)/2
x=±√[(-1±√3i)/2]
x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0
(1-x^6)/(1-x)=0
1-x^6=0
x=1（舍去），x=-1我想知道虚数范围怎么求有实根，无虚根~ 6次方，产生不了虚数根吧~~ 我也不确定~ ，很久没接触不懂了~~ 目测过去，虚数根没有~~~ 莫非不能直接用等比数列求和？？用了就找不出虚数跟了。。...
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x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0
(1-x^6)/(1-x)=0
1-x^6=0
x=1（舍去），x=-1
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x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0
两端同乘x
则x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x=0
两式相减，则x^6-1=0.x^6=1，即x^2=1
则x=1或-1
x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0
(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=x^6-1=0
x^6-1=0的六个根为±1， (1±√3 i)/2,(-1±√3 i)/2
1显然不是原方程x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0的根
所以原方程x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0的根为-1， (1±√3 i)/2,(-1±√3 i)...
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x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0
(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=x^6-1=0
x^6-1=0的六个根为±1， (1±√3 i)/2,(-1±√3 i)/2
1显然不是原方程x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0的根
所以原方程x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0的根为-1， (1±√3 i)/2,(-1±√3 i)/2
注：x^6=1 的根应该为 e^(ikπ/3)=cos(kπ/3)+isin(kπ/3) k=0,1,2,3,4,5
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