学帮网证明：函数f（x）=x+1/x在区间（0,1】上为减函数.请证明,O(∩_∩)O谢谢.
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/04/30 02:06:30
证明：函数f（x）=x+1/x在区间（0,1】上为减函数.
请证明,O(∩_∩)O谢谢.
证明：任取区间[1,+∞）上两个实数a,b,且a＜b
则a-b＜0,ab＞1,ab-1＞0
则f（a）-f（b）=（a+1 a ）-（b+1 b ）
=a-b+1 a -1 b =a-b+b-a ab=（a-b）（1-1 ab ）=(a-b)(ab-1) ab ＜0
即f（a）＜f（b）
故函数f(x)=x+1 x 在区间[1,+∞）上是增函数
∴在（0,1]上是减函数
x1,x2∈(0,1] x1>x2
f(x1)-f(x2)
=(x1+1/x1)-(x2+1/x2)
=(x1-x2)+(x2-x1)/(x1x2)
=(x1-x2)(1-1/(x1x2))
[x1>x2 x1-x2>0
因为x1x2<1 所以1/(x1x2)>1 1-1/(x1x2)<0]
<0=(x1-x2)+(x2-x1)/(x1x2...
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x1,x2∈(0,1] x1>x2
f(x1)-f(x2)
=(x1+1/x1)-(x2+1/x2)
=(x1-x2)+(x2-x1)/(x1x2)
=(x1-x2)(1-1/(x1x2))
[x1>x2 x1-x2>0
因为x1x2<1 所以1/(x1x2)>1 1-1/(x1x2)<0]
<0
收起
学过导数了没有 ，用导数吧
1、画图法 画出图形就可以知道在区间上的增减性。
2、求导数法 在区间上是小于零的 递减。
求导，当导数在(0,1]小于或等于0即可。
f(x)=x+1/x=x+x^(-1)，
所以f'(x)=1-x^(-2)=1-1/(x^2)
因为定义域为(0,1]
所以x^2也是(0,1]
所以1/(x^2)>=1
所以f'(x)<=0
所以f（x）=x+1/x在区间（0，1]上为减函数
设0
明显b-a>0 但ab<1
所以f(b)-f(a)<0