学帮网数列竞赛题已知数列{an},a1=0,a(n+1)=5an+根号下(24*an^2+1）求an
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/06 07:13:34
数列竞赛题
已知数列{an},a1=0,a(n+1)=5an+根号下(24*an^2+1）求an
我的思路(非严格证明):
如果存在b(n+1)=5an-√(24an^2+1)就好了
那么a(n+1)+b(n+1)=10an,a(n+1)b(n+1)=an^2-1
计算{an}前5项发现b(n+1)=a(n-1)
a1=0,a2=1,a3=10,a4=99,a5=980
b1=?,b2=-1,b3=0,b4=1,b5=10
猜想a(n+1)+a(n-1)=10an,a(n+1)a(n-1)=an^2-1
构造递增数列{cn},满足c1=0,c2=1,c(n+1)+c(n-1)=10cn
只要证明{cn}={an}就可以了
利用待定系数法,将c(n+1)+c(n-1)=10cn化为
c(n+1)-kc(n)=(10-k)(cn-kc(n-1))
得到k^2-10k-1=0,k1=5+√24,k2=5-√24是方程的两实根
所以
c(n+1)-k1c(n)=k2(cn-k1c(n-1))=k2^(n-1)
c(n+1)-k2c(n)=k1(cn-k2c(n-1))=k1^(n-1)
相加得2c(n+1)-10cn=k1^(n-1)+k2^(n-1)
即c(n+1)=5cn+(k1^(n-1)+k2^(n-1))/2
猜想{cn}={an},
c(n+1)=5cn+(k1^(n-1)+k2^(n-1))/2
a(n+1)=5an+√(24an^2+1)
很可能√(24an^2+1)=(k1^(n-1)+k2^(n-1))/2
得到"通项" an = √( ((k1^(n-1)+k2^(n-1))^2-4)/96 )
其中k1=5+√24,k2=5-√24
关键是要证明{cn}={an},我还没想到,但是an很可能就是上面那个...