学帮网微积分求解不定式sin,cos∫ sin^3(2x)cos^3(2x)dx 要怎么算呢?如果u=cos2x,那么du=2sin2xdx,du里面有2,不知道要怎么代进去.
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/06 18:03:42
微积分求解不定式sin,cos
∫ sin^3(2x)cos^3(2x)dx 要怎么算呢?如果u=cos2x,那么du=2sin2xdx,du里面有2,不知道要怎么代进去.
求不定积分∫ sin³(2x)cos³(2x)dx
原式=∫(sin2xcos2x)³dx
=∫[(1/2)sin4x]³dx
=(1/8)∫(sin³4x)dx ] [用公式降幂：sin³α=(1/4)(3sinα-sin3α)],此处α=4x]
=(1/8)∫(1/4)(3sin4x-sin12x)dx
=(1/32)[3∫sin4xdx-∫sin12xdx]
=(1/32)[(3/4)∫sin4xd(4x)-(1/12)∫sin12xd(12x)]
=(1/32)[-(3/4)cos4x+(1/12)cos12x]+C
=(1/384)(-9cos4x+cos12x)+C
要先简化原式
sin³2xcos³2x = (1/8)(2sin2xcos2x)³ = (1/8)sin³4x
= (1/8)(sin²4x)sin4x = (1/8)(1 - cos²4x)sin4x
= (1/8)[1 - (1 + cos8x)/2]sin4x
= (1/16)(1- cos8x)si...
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要先简化原式
sin³2xcos³2x = (1/8)(2sin2xcos2x)³ = (1/8)sin³4x
= (1/8)(sin²4x)sin4x = (1/8)(1 - cos²4x)sin4x
= (1/8)[1 - (1 + cos8x)/2]sin4x
= (1/16)(1- cos8x)sin4x
= (1/16)sin4x - (1/16)cos8xsin4x
= (1/16)sin4x - (1/32)(sin12x - sin4x)
= (3/32)sin4x - (1/32)sin12x
积分= -(3/128)cos4x + (1/384)cos12x + C
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