矩形abcd中,ab=1,bc=a,pa垂直于平面abcd,若bc=边上的点q满足pq垂直于qd,当存在两个这样的点时,a的取值范围是
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/06/01 11:52:22
矩形abcd中,ab=1,bc=a,pa垂直于平面abcd,若bc=边上的点q满足pq垂直于qd,当存在两个这样的点时,a的取值范围是
∵PA⊥面ABCD,∴DQ⊥PA.
如果有DQ⊥PQ,那么就有DQ⊥面PAQ,得:DQ⊥AQ,∴Q在以AD为直径的圆周上.
显然,当以AD为直径的圆与BC有交点时,Q点就存在,否则就不存在.
过Q作QR⊥AD交AD于R,容易证得:QR=AB.
取AD的中点为O,这就是以AD为直径的圆的圆心.
当R与O重合时,QR=QO,当R与O不重合时,QR<QO.[Rt△的斜边大于直角边]
∴AB是确保以AD为直径的圆与BC有交点的最小半径.
当半径为AB时,容易证得:AO=QO=AB=1,进而得:BC=AD=2AO=2.
∴满足条件的a的取值范围是[2,+∞).
如果pq垂直于qd,那pq就肯定存在于和qd垂直且过q点的平面上。假设这平面是s。
以下因为pa垂直于abcd,所以pa垂直于qd,而p在s上,所以a在s上。(这步貌似需要证明?)
所以a和q都在s上,也就是aq垂直于qd。或者q和b重合,或者q和a重合。
bc的取值范围不相关。怀疑你题写错了?...
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如果pq垂直于qd,那pq就肯定存在于和qd垂直且过q点的平面上。假设这平面是s。
以下因为pa垂直于abcd,所以pa垂直于qd,而p在s上,所以a在s上。(这步貌似需要证明?)
所以a和q都在s上,也就是aq垂直于qd。或者q和b重合,或者q和a重合。
bc的取值范围不相关。怀疑你题写错了?
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为什么我觉得那么麻烦= =
设BQ=x,PA=y(其实没什么用),,(以下均为向量)PQ=(x,1,-y),QD=(a-x,-1,0)
根据-1*1+x(a-x)=0
x(a-x)=1
你要两个点 直接△>0
按题意存在两个平面:面aqd(即面abcd)、面pqd,直线qd为两个面的交线;
题中,pa垂直于平面abcd,所以直线pa必垂直于其面上的直线qd;
由于:pq垂直于qd,pa垂直于qd,pq与pa不平行,所以qd垂直于pq及pa组成的面pqa;
由于:qd垂直于面pqa,面pqa中的直线aq垂直于qd;
此时可知:三角形aqd为直角三角形,其中ad为斜边。
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按题意存在两个平面:面aqd(即面abcd)、面pqd,直线qd为两个面的交线;
题中,pa垂直于平面abcd,所以直线pa必垂直于其面上的直线qd;
由于:pq垂直于qd,pa垂直于qd,pq与pa不平行,所以qd垂直于pq及pa组成的面pqa;
由于:qd垂直于面pqa,面pqa中的直线aq垂直于qd;
此时可知:三角形aqd为直角三角形,其中ad为斜边。
接下来采用圆心角与圆周角的关系解题:
我们知道圆心角是圆周角的2倍,如过直角三角形a、q、d三个角点作圆,q为圆上一点,斜边ad必为直径;
此时我们发现,当该圆的半径小于ab时,q点不存在;
由此可得:直径ad必须大于等于2倍的ab;
因为:ad=bc,ab=1
所以:bc的长度a大于等于2
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