怎样证明2的99次方+3的99次方能被7整除?

来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/27 20:51:18

怎样证明2的99次方+3的99次方能被7整除?

二项式展开学过的话就简单了
2^99 + 3^99
= 8^33 + 27^33
= (1+7)^33 + (-1 + 28)^33
= (1 + 33·7 + ...+ 7^33) + (-1 + 33·28 - ...+ 28^33)
= (33·7 + ...+ 7^33) + (33·28 - ...+ 28^33)
这里的每一项都含有7或28,能被7整除,所以2^99 + 3^99能被7整除
还有一种方法:
2^99 + 3^99
= 8^33 + 27^33
而x^33 + y^33能被(x+y)整除 (当n为奇数的时候,x^n+y^n都含有因式x+y)
所以2^99 + 3^99能被35整除,所以能被7整除

2的若干次方被7除的余数依次是:
2,4,1,2,4,1……
99÷3=33
因此2的99次方被7除余1
3的若干次方被7除的余数依次是:
3,2,6,4,5,1,3,2,6,4,5,1……
99÷6=16……3
因此3的99次方被7除余6
因此2的99次方+3的99次方能被7整除...

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2的若干次方被7除的余数依次是:
2,4,1,2,4,1……
99÷3=33
因此2的99次方被7除余1
3的若干次方被7除的余数依次是:
3,2,6,4,5,1,3,2,6,4,5,1……
99÷6=16……3
因此3的99次方被7除余6
因此2的99次方+3的99次方能被7整除

收起

2^99+3^99
=(2^33+3^33)(2^66-6^33+3^66)
=(2^11+3^11)(2^22-6^11+3^22)(2^66-6^33+3^66)
(2^22-6^11+3^22)=4194303-362797056+31381059609=31022456857可以被7整除
所以2^99+3^99可以被7整除