学帮网高等数学难题!
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/04/29 00:06:27
高等数学难题!
把f(x)分别在x=0和x=c处泰勒展开到二阶导数,f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(ξ1)x^2/2,f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+f''(ξ2)(x-c)^2/2,分别在0到c上积分,得∫f(x)dx=f(0)c+f'(0)c^2/2+f''(ξ1)c^3/6,∫f(x)dx=f(0)c-f'(0)c^2/2+f''(ξ2)c^3/6,两式相加得∫f(x)dx=(c/2)[f(0)+f(c)]+(c^2/4)[f'(0)-f'(c)]+(c^3/6)[f''(ξ1)+f''(ξ2)],这里要用到关于导函数的两个重要的结论,就是导函数一定具有介值性及“拉格朗日中值定理”,而不要求导函数连续,就是说f'(b)-f'(a)=f''(ζ)(b-a),并且f'(x)可以取到f'(a)和f'(b)之间的任意值,而不要求f'(x)在[a,b]上有连续性.利用这两个性质,f'(0)-f'(c)=f''(ζ3)(0-c),f''(ξ1)+f''(ξ2)=f''(ζ4)/2,代人积分表达式中有∫f(x)dx=(c/2)[f(0)+f(c)]-(c^3/4)f''(ζ3)+(c^3/12)f''(ζ4),再对-(c^3/4)f''(ζ3)+(c^3/12)f''(ζ4)这一部分用介值定理,有-(c^3/4)f''(ζ3)+(c^3/12)f''(ζ4)=(1/2)(-c^3/4+c^3/12)f''(ζ)=-(c^3/12)f''(ζ),带回即可.
没做出来，差了一点点，你参考一下。。
