学帮网函数y=sinx+cosx（0≤x≤π/2）的值域等于?
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/04/28 21:55:26
函数y=sinx+cosx（0≤x≤π/2）的值域等于?
y=sinx+cosx （0≤x≤π/2）
注意：y是两个函数sinx和cosx的叠加,而这个两个函数在0≤x≤π/2区间的单调性不一致：
当x从0到π/2时,
sin(x)从0单调增加到1,而
cos(x)从1单调降到0.
由于,sin(x)和cos(x)在0≤x≤π/2区间的单调性不一致,
所以,你只有把两个函数化成一个来做
y=sinx+cosx（0≤x≤π/2）
=(根号2)*sin(x+π/4) （0≤x≤π/2）
由于,0≤x≤π/2
所以,π/4≤x+π/4≤(3/4)*π
但你要知道,若令z=x+π/4,当z从π/4变化到(3/4)*π,
此时,sin(z)并不“在整个区间里”单调变化,此时,
当z从π/4变到π/2,sin(z)从sin（π/4）单调增加到1
当z从π/2变到(3/4)*π,sin(z)从1单调减少到sin（(3/4)*π）
所以,sin(z)在z＝π/2,达到最大值为1,即
(根号2)*sin(x+π/4) 达到最大值为1*(根号2)＝根号2
sin(z)在z＝π/4和z=(3/4)*π,达到最小值为sin(π/4)＝1/(根号2),即
(根号2)*sin(x+π/4) 达到最小值为 (根号2)*〔1/(根号2)〕＝1
综上,(根号2)*sin(x+π/4) 当0≤x≤π/2时,
最大值 根号2,
最小值 1
值域y属于[1,根号2]
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其实,这道题,你把sin(x)和cos(x)在同一坐标系中（0≤x≤π/2）时的图像画出来,由于sin(x)和cos(x)在0≤x≤π/2上对称和单调,所以,可以很容易的想到
最小值出现在0≤x≤π/2的两个区间端点0或π/2上,而最大值出现在0≤x≤π/2的中点π/4上
所以,很快可以得
min Y = sin(0)+cos(0) = 1 + 0 = 1
max Y = sin(π/4)+cos(π/4) = 根号2
所以,值域Y属于[1,根号2]
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楼上两位,很明显有错,sin(x)和cos(x)在0≤x≤π/2时,都是非负的,
所以,sin(x)＋cos(x)不可能小于0!
y=根号2（根号2/2sinx+根号2/2cosx)
=根号2sin(x+45°）
因为sin(x+45°）最大值=1，最小值=-1
所以y得最大值=根号2，最小值=-根号2
值域[-2,2]
y=根号2sin(x+45)
因为（0≤x≤π/2）
所以45≤x+45≤135
so -根号2≤y≤根号2
ps万能公式
y=asinx+bcosx
y=根号下(a方+b方)sin(x+*)
*=arctanb/a
0≤x≤π/2,则y>0
∴y=√(sinx+cosx)^2=√1+2sinxcosx=√1+sin2x
0≤x≤π/2,则0≤sin2x≤1
1≤y≤√2