三角函数值域A+B+C=0求 sinA+sinB+sinC 的取值范围

来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/14 01:41:06

三角函数值域
A+B+C=0
求 sinA+sinB+sinC 的取值范围

|sinA+sinB+sinC|
=|2sin(A+B/2)COS(A-B/2)-sin(A+B)|
≤2sin(A+B/2)-sin(A+B)(当A=B时等号成立)
令t=A+B/2,则
|sinA+sinB+sinC|
≤|2sint-sin2t|
令f(t)=2sint-sin2t
由于f(t)以2π为周期,不妨设定义域为[0,2π]
则f'(t)=2cost-2cos2t=0
t=2/3*π,4/3*π
f(0)=0,f(2π)=0,
f(2/3*π)=√3+√3/2=3√3/2,
f(4/3*π)=-√3-√3/2=-3√3/2,
故范围是[-3√3/2,3√3/2],
即sinA+sinB+sinC 范围是[-3√3/2,3√3/2].
边界点取到时A=B=2/3*π(最小值),A=B=4/3*π(最大值).
终于做出来了...本来想用纯三角不等式做的,但有点难度,
因此后面改用导数求最值了,方法不太简洁,但总归答案应该对的.

-2到2

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