什么是容斥原理?

什么是容斥原理?

容斥原理
容斥原理
在计数时,为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理.
容斥原理（1）
如果被计数的事物
有a、b两类,那么,a类或b类元素个数= a类元素个数+
b类元素个数—既是a类又是b类的元素个数.
例1
一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?
分析：依题意,被计数的事物有语、数得满分两类,“数学得满分”称为“a类元素”,“语文得满分”称为“b类元素”,“语、数都是满分”称为“既是a类又是b类的元素”,“至少有一门得满分的同学”称为“a类或b类元素个数”的总和.
试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种,已知家中有空调的有41人,有电脑的有34人,二者都有的有27人,这个班有学生多少人?（并说一说你的想法.）
容斥原理（2）
如果被计数的事物有a、b、c三类,那么,a类或b类或c类元素个数= a类元素个数+
b类元素个数+c类元素个数—既是a类又是b类的元素个数—既是a类又是c类的元素个数—既是b类又是c类的元素个数+既是a类又是b类而且是c类的元素个数.
例2某校六（1）班有学生54人,每人在暑假里都参加体育训练队,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有34人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有18人,排球、游泳都参加的有14人,问：三项都参加的有多少人?
分析：仿照例1的分析,你能先说一说吗?
例3 在1到1000的自然数中,能被3或5整除的数共有多少个?不能被3或5整除的数共有多少个?
分析：显然,这是一个重复计数问题（当然,如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数,5的倍数）.我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成a类元素和b类元素,能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数,即“既是a类又是b类的元素”.求的是“a类或b类元素个数”.现在我们还不能直接计算,必须先求出所需条件.1000÷3=333……1,能被3整除的数有333个（想一想,这是为什么?）同理,可以求出其他的条件.
例4 分母是1001的最简分数一共有多少个?
分析：这一题实际上就是找分子中不能整除1001的数.由于1001=7×11×13,所以就是找不能被7,11,13整除的数.
例5
某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后,有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀,其余每人至少有一项达到了优秀,达到了优秀的这部分学生情况如下表：
短跑游泳投掷短跑、游泳短跑、投掷游泳、投掷短路、游泳、投掷
1718156652
求这个班的学生共有多少人?
分析：这个班的学生数,应包括达到优秀和没有达到优秀的.
试一试：一个班有42人,参加合唱队的有30人,参加美术组的有25人,有5人什么都没有参加,求两种都参加的有多少人?
例6
在一根长的木棍上有三种刻度线,第一种刻度线将木棍分成10等份,第二种将木棍分成12等份,第三种将木棍分成15等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断,木棍总共被锯成多少段?
分析：很显然,要计算木棍被锯成多少段,只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线,在此基础上加1就是段数了.
若按将木棍分成10等份的刻度线锯开,木棍有9条刻度线.在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线,显然刻度线有重复的,如5/10和6/12都是1/2.同样再加上将木棍分成15等份的刻度线,也是如此.所以,我们应该按容斥原理的方法来解决此问题.用容斥原理的那一个呢?想一想,被计数的事物有那几类?每一类的元素个数是多少?

在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。...

全部展开

在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

收起

主要就是初等集合论那部分的
集合的交 并 补 这些
我们学的多数是计算集合内的元素
比如说什么一个班多少人 数学满分多少人 语文满分多少人 语文数学都满分多少人 让你算有多少人两科都不满分的 这类
要不就是什么 参加什么比赛的多少人 参加什么比赛的多少人 都参加多少人 至少参加一项的多少人 这类的~...

全部展开

主要就是初等集合论那部分的
集合的交 并 补 这些
我们学的多数是计算集合内的元素
比如说什么一个班多少人 数学满分多少人 语文满分多少人 语文数学都满分多少人 让你算有多少人两科都不满分的 这类
要不就是什么 参加什么比赛的多少人 参加什么比赛的多少人 都参加多少人 至少参加一项的多少人 这类的~

收起

容斥原理

容斥原理常常使用，其实说简单点，就是从多的往下减，减过头了在加回来，又加多了再减，减多了再加……，最终得到正确结果。对于计数中容易出现重复的题目，我们常常采用容斥原理，去掉重复的情况。

基本情况的公式见图片。。

|A|表示A集合中元素的个数。。