学帮网如图,直线y=kx+1与y轴交于点F,与抛物线y=1/4x2交于M（x1,y1)和N(x2,y2)两点,且x1乘以x2=-4（x1＜0,x2＞0）1,求F坐标2,分别过M,N作直线L:y=-1的垂线分别是M1和N1,l与y轴的交点是F1,判断三角形FF1M1与三角形N1F
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/13 02:17:36
如图,直线y=kx+1与y轴交于点F,与抛物线y=1/4x2交于M（x1,y1)和N(x2,y2)两点,且x1乘以x2=-4
（x1＜0,x2＞0）
1,求F坐标
2,分别过M,N作直线L:y=-1的垂线分别是M1和N1,l与y轴的交点是F1,判断三角形FF1M1与三角形N1F1F是否相似说明理由
3,判断直线L是否以MN为直径的圆相切说明理由
第一问：
显然,由直线方程“y=kx+1”可知,点F坐标为（0,1）.
答：
（1）直线MN即y=kx+1与y轴的交点F：令x=0，y=1
所以点F为（0,1）
（2）直线y=kx+1与抛物线y=x^2/4联立整理得：
x^2-4kx-4=0
x1+x2=-4k
x1*x2=-4
点M1（x1，-1），点N1（x2,-1)
M1F的斜率KM1F=(-1-1)/(x1-0)=-2/x1
...
全部展开
答：
（1）直线MN即y=kx+1与y轴的交点F：令x=0，y=1
所以点F为（0,1）
（2）直线y=kx+1与抛物线y=x^2/4联立整理得：
x^2-4kx-4=0
x1+x2=-4k
x1*x2=-4
点M1（x1，-1），点N1（x2,-1)
M1F的斜率KM1F=(-1-1)/(x1-0)=-2/x1
N1F的斜率KN1F=(-1-1)/(x2-0)=-2/x2
KM1F*KN1F=4/(x1*x2)=-1
所以：M1F⊥N1F
所以：∠M1FF1+N1FF1=90°=∠M1FF1+∠FM1F1
所以：∠N1FF1=∠FM1F1
所以：RTΔM1F1F∽RTΔFF1N1
（3）M和N的中点W（x1/2+x2/2，y1/2+y2/2)
中点W到直线L即y=-1的距离R=(x1+x2)/2+1=1-2k
MN=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
=√[(x1+x2)^2-4x1*x2+(x1^2/4-x2^2/4)^2]
=√[16k^2+16+(x1-x2)^2*(-4k)^2/16]
=√[16(k^2+1)+16(k^2+1)*k^2]
=√[16(k^2+1)(k^2+1)]
=4(k^2+1)
所以：MN/2=2(k^2+1)
令R=MN/2，得：1-2k=2(k^2+1)
整理得：2k^2+2k+1=0，k无实数解。
所以直线L与MN为直径的圆不相切。
收起