学帮网A、B是抛物线y^2=2px两动点,OA垂直OB,O为原点,OM垂直AB,求M点轨迹方程A、B是抛物线y^2=2px两动点,OA垂直OB,O为原点,A为（x1,y1）B为（x2,y2）OM垂直AB,求M点轨迹方程
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/07 00:34:45
A、B是抛物线y^2=2px两动点,OA垂直OB,O为原点,OM垂直AB,求M点轨迹方程
A、B是抛物线y^2=2px两动点,OA垂直OB,O为原点,A为（x1,y1）B为（x2,y2）OM垂直AB,求M点轨迹方程
答：
设A(2pm^2,2pm),N(2pn^2,2pn)
k1,k2表示直线OA,OB的斜率,
k1*k2=-1,（坐标代入）
即mn=-1
由两点式知直线AB的方程为
y-2pn=1/(m+n)*(x-2pn^2)
令y=0,则x=-2pmn=2p
这说明直线AB恒过C（2p,0)
画图知M点的轨迹在以OC为直径的圆上,所以其轨迹方程为
(x-p)^2+y^2=p^2(x≠0)
OA⊥OB
设直线OA:y=kx,直线OB:y=-x/k
解下方程组:
y=kx
y^2=4px
得A(4P/K^2,4P/K)
同理,解下方程组:
y=-x/k
y^2=4px
得B(4PK^2,-4PK)
直线AB的斜率：kAB=K/(1-K^2)
OM⊥AB，kOM=-(1-K^2)/K
...
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OA⊥OB
设直线OA:y=kx,直线OB:y=-x/k
解下方程组:
y=kx
y^2=4px
得A(4P/K^2,4P/K)
同理,解下方程组:
y=-x/k
y^2=4px
得B(4PK^2,-4PK)
直线AB的斜率：kAB=K/(1-K^2)
OM⊥AB，kOM=-(1-K^2)/K
设M(X,Y) ，则
Y/X=-(1-K^2)/K,-X/Y=K/(1-K^2),K^2=(X+YK)/X,
直线AB：Y+4PK=[K/（1-K^2) ]*(X-4PK^2)
Y+4PK=(-X/Y)*(X-4PK^2)
X^2+Y^2+4PKY=4PXK^2=4PX*(X+YK)/X=4PX+4PKY
X^2+Y^2-4PX=0
(X-2P)^2+Y^2=(2P)^2
点M的轨迹方程为一个园,半径=2P,园心坐标为(2P,0)
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