学帮网求解一道关于积分、零点的数学题如图：
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/04/26 15:05:09
求解一道关于积分、零点的数学题
如图：
定理1（由定积分定义式直接推出）：如果f(x)在[a,b]上连续且定积分为0,那么f(x)在(a,b)内必有零点,并且如果有非零点,那么正负必然同时存在（几个实数相加,正负抵消,和才能为0）.
定理2（乘法分配律）：在同一个积分区间,(f,ag+bh)=(f,ag)+(f,bh)=a(f,g)+b(f,h).（(f,g)表示两个函数f(x)、g(x)的乘积在该区间的积分,称为f(x)与g(x)的内积.a*f(x)+b*g(x)称为两个函数f(x)、g(x)的线性组合）
定理3（属于波的合成）：几个周期相同的正弦型函数合成,还是一个同周期的正弦型函数.（就是三角函数的和差化积）
连续函数f(x)sinx在[0,pi]与sinx定积分为0,那么f(x)sinx在(0,pi)至少有一个零点.而sinx在(0,pi)恒正,那么这个零必然是由f(x)提供.所以f(x)在(0,pi)不管有没有正负,都至少有一个零点.
设该零点为x0.
f(x)在[0,pi]同时与sin(x)和cos(x)定积分为0,那么与acos(x)+bsin(x)定积分也为0,与其中的sin(x+t)定积分也为0（sin(x+t)属于acos(x)+bsin(x)）.随着t的变化,sin(x+t)的某个零点会与f(x)的那个零点重合,例如t=-x0.此时f(x)sin(x-x0)在[0,x0]∪[x0,pi]上定积分为0,那么f(x)sin(x-x0)在(0,x0)∪(x0,pi)内必有零点.而sin(x-x0)在(0,x0)∪(x0,pi)恒正,那么f(x)在(0,x0)∪(x0,pi)内必有零点.
所以f(x)在(0,pi)内至少有两个零点.