求函数y=sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x的最小值,并写出使函数y取得最小值时x的集合

来源：学生作业学帮网编辑：学帮网时间：2024/05/13 04:11:14

y=(1-cos2x)/2+sin2x+3(1+cos2x)/2
=sin2x+cos2x+2
=√2sin(2x+π/4)+2
y的最小值为-√2+2
当2x+π/4=2kπ-π/2时,即x=kπ-3π/8时y取最小值.
这里k为任意整数.

解:
y=sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x
=(sin2x)^2+sin2x+3(1-(sin2x)^2)
=(sin2x)^2+sin2x+3-3(sin2x)^2
=-2(sin2x)^2+sin2x+3
设sin2x=t
原式=-2t^2+t+3
=-2(t^2-t/2+(1/4)^2-(1/4)^2)+3
=-...

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解:
y=sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x
=(sin2x)^2+sin2x+3(1-(sin2x)^2)
=(sin2x)^2+sin2x+3-3(sin2x)^2
=-2(sin2x)^2+sin2x+3
设sin2x=t
原式=-2t^2+t+3
=-2(t^2-t/2+(1/4)^2-(1/4)^2)+3
=-2[(t-1/4)^2-(1/4)^2]+3
=-2(t-1/4)^2+1/8+3
t=sin2x∈[-1,1]
所以最小值当sin2x=-1时取得
即0
所以x的集合为x=3π/4+kπ,k属于Z

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