若a为整数,证明a的立方-a能被6整除
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/20 19:24:44
若a为整数,证明a的立方-a能被6整除
证明:
a^3-a
=a(a^2-1)
=a(a+1)(a-1)
a为整数,
所以,a(a+1)(a-1)为三个连续整数的积,
三个连续整数,其中必有一个是2的倍数,也必有一个是3的倍数.
所以,a(a+1)(a-1)必是6的倍数.
所以,a的立方-a能被6整除
a^3-a=a(a-1)(a+1)
当a=1时,a^3-a=a(a-1)(a+1)=1*0*2=0,能被6整除。
设a=n时命题成立,即a^3-a=a(a-1)(a+1)=n(n-1)(n+1)能被6整除。
则a=n+1时,a^3-a=a(a-1)(a+1)=(n+1)(n)(n+2)=(n+1)(n)(n+2-3+3)=(n)(n-1)(n+1)+3(n+1)(n)...
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a^3-a=a(a-1)(a+1)
当a=1时,a^3-a=a(a-1)(a+1)=1*0*2=0,能被6整除。
设a=n时命题成立,即a^3-a=a(a-1)(a+1)=n(n-1)(n+1)能被6整除。
则a=n+1时,a^3-a=a(a-1)(a+1)=(n+1)(n)(n+2)=(n+1)(n)(n+2-3+3)=(n)(n-1)(n+1)+3(n+1)(n)
在(n)(n-1)(n+1)+3(n+1)(n)中,(n)(n-1)(n+1)已被证明能被6整除,而3(n+1)(n)能被3整除,又(n+1)与(n)中必有一个能被2整除,因此3(n+1)(n)能被6整除,从而(n)(n-1)(n+1)+3(n+1)(n)能被6整除。因此当a=n+1时命题成立。得证。
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若a为整数,证明a的立方-a能被6整除
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