学帮网已知2个整数和是40,它们最小公倍数和最大公约数的和是56,求这2个数.
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/08 06:57:11
已知2个整数和是40,它们最小公倍数和最大公约数的和是56,求这2个数.
以上的过程问题都比较大.
设两个数的最大公约数是d,两个数分别为pd,qd,其中q,p互质,并且p>q.那么：
(p+q)d=40
(pq+1)d=56.
所以(p+q)/(pq+1)=5/7.
即得到：
5pq-7(p+q)+5=0,
即25pq-35(p+q)+25=0.
所以(5p-7)(5q-7)=24.
由于5q-7和5p-7都是正整数,而且5p-7>5q-7,所以必有：
5p-7=24,5q-7=1或5p-7=12,5q-7＝2或5p-7=8,5q-7=3或5p-7=6,5q-7=4.
容易验证只有当5p-7=8,5q-7=3时p,q为整数.
所以p=3,q=2.因此d=40/(p+q)=8.
故两数为3×8＝24和2×8＝16.
所以两数分别为24和16.
24,16
两个数的最大公约数乘以最小公倍数就等于这两个数之积
利用这个就可以列出二元二次方程组，解救行了
我只会这么做呵呵
16和24
设他们的最大公约数为x，则其中一个为ax，另一个为bx，（a，b都为正整数），则最小公倍数为abx
ax+bx=40 （1）
abx+x=56 （2）
（1）（2）相除得到(a+b)/(ab+1)=5/7，常规解法只能解到这里为止
然后代入正整数解试算可以得到a=2，b=3或者a=3，b=2，再解得x=8
所以两个数分别是16和...
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16和24
设他们的最大公约数为x，则其中一个为ax，另一个为bx，（a，b都为正整数），则最小公倍数为abx
ax+bx=40 （1）
abx+x=56 （2）
（1）（2）相除得到(a+b)/(ab+1)=5/7，常规解法只能解到这里为止
然后代入正整数解试算可以得到a=2，b=3或者a=3，b=2，再解得x=8
所以两个数分别是16和24
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