为什么无理数比有理数多越详细越好,求求求求!

为什么无理数比有理数多
越详细越好,求求求求!

简单说就是任意两个有理数之间存在着无限多个无理数.
全体实数可以覆盖整个数轴,而全体有理数不能覆盖整个数轴.任取两个相邻的有理数,则它们之间必存在无限多个无理数
首先说明什么是“多”.有理数和无理数不对等,即不能建立一一对应关系.而如果两个集合可以建立一一对应关系,则说它们是对等的（即“一样多”）.
无穷集合的对等与有限集的一样多在直观上可能是不同的,如整数和偶数是可以一一对应的（n对应2n）,因而它们是对等的.
因为有理数可以写成整数分数的形式,因此有理数和整数对儿对等；又因为整数对儿(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)……可以排成有序的一列（正负可以交错排列）,因此整数对儿和自然数也对等.
同样的,由于无理数有1.1415926……,2.1415926……,3.1415926……,因此无理数的一部分可以与自然数建立一一对应关系,它们是对等的.因此无理数不会比自然数少,也就不会比有理数少.
我们现在只要说明无理数与自然数不能对等.
我们用反证法.反设无理数可以排成一列（从而可以编号1、2、3……）：
x.xxxx……
x.xxxx……
……
我们可以找出一个新的无理数,它的第一位与上面数列中的第一个数不同,第二位与数列中的第二个数不同,……从而这个新无理数就不在数列中,这是一个矛盾.此矛盾说明无理数不能排成一列,即无理数比自然数多,从而比有理数多.

其实很简单，因为两个分数之间有无限个分数

瞎说，他们分不出谁多谁少

这个理论上来讲是一样多的，没有可比性，就像你说是整数多还是偶数多，实际上是一样的，你找到任何一个整数都能找到一个偶数与它对应，这个无理数和有理数道理是一样的，没有可比性。

据我所知，这个问题不是说有理数多还是物理数多的问题，而是实数（有理数加无理数）能填满整个数轴，而有理数相对于整个数轴，稠密性约为零，而无理数几乎能填满整个数轴。从数量上看，它们都是无穷多个，从数轴的代数几何意义上来看，相对于无理数，有理数的数量可以忽略不计。也就是你所说的无理数多，这个结论你应该能明白了吧。另外，这个数轴不一定非要是10进制的，任意进制都可以。...

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据我所知，这个问题不是说有理数多还是物理数多的问题，而是实数（有理数加无理数）能填满整个数轴，而有理数相对于整个数轴，稠密性约为零，而无理数几乎能填满整个数轴。从数量上看，它们都是无穷多个，从数轴的代数几何意义上来看，相对于无理数，有理数的数量可以忽略不计。也就是你所说的无理数多，这个结论你应该能明白了吧。另外，这个数轴不一定非要是10进制的，任意进制都可以。

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我觉得，每个有理数加减任何一个一个无理数=无理数

这是个说不清道不明的命题。
任意两个有理数之间都存在着无数个无理数，同时也存在着无数个有理数，不信你试试看，将一个具体的区间无限细分下去[小数点后不断地增加尾数，只要能写出来具体的数都是有理数]，比如0.3和0.4之间可以有0.33，0.333，0.3333，...，单就这一种形式的有理数就有无数个，它们都可以化成有理数的分数形式。当然了，你也可以构造一个无理数序列：0.33+√2/100...

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这是个说不清道不明的命题。
任意两个有理数之间都存在着无数个无理数，同时也存在着无数个有理数，不信你试试看，将一个具体的区间无限细分下去[小数点后不断地增加尾数，只要能写出来具体的数都是有理数]，比如0.3和0.4之间可以有0.33，0.333，0.3333，...，单就这一种形式的有理数就有无数个，它们都可以化成有理数的分数形式。当然了，你也可以构造一个无理数序列：0.33+√2/100、0.333+√2/1000、0.3333+√2/10000、...等等，这同样也是无数个。举例仅仅是举例，并不能说明那种多那种少，或者数量相等，因为例子是无穷尽的，无法进行理论判断。这正如鲁迅先生所说的：“神鬼之事吾也难明”。如果哪位大数学家能证明这种命题的话，我想，上帝一定会哭的，如果有上帝的话。

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这个问题有点复杂，你还没学到。要用到极限的知识。虽说有理数和无理数都是无穷的，看起来无法比较，但是无理数是比有理数多的。不妨考虑区间[0，1]的有理数，因为有理数是分数，所以依分母从小到大的顺序，可以将他们排成一个数列，即0，1，1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,........其中去掉了重复的数字。显然，[0 ,1]上的所有有理数都在这个数列里。又因为点是没有长度的，所以对以任意的a>0可...

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这个问题有点复杂，你还没学到。要用到极限的知识。虽说有理数和无理数都是无穷的，看起来无法比较，但是无理数是比有理数多的。不妨考虑区间[0，1]的有理数，因为有理数是分数，所以依分母从小到大的顺序，可以将他们排成一个数列，即0，1，1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,........其中去掉了重复的数字。显然，[0 ,1]上的所有有理数都在这个数列里。又因为点是没有长度的，所以对以任意的a>0可以用一个长度为a/2的区间将0包住，用一个长度为a/4的区间将1包住，用一个长度为a/8的区间将1/2包住，.........这些区间的长度和是a/2+4/a+a/8+.....=a[1-(1/2)^n]等比数列求和公式。极限为a,因此在[0,1]所有的有理数占据的长度小于a ,但a是任意的，所以[0,1]之间几乎都是无理数。所以出现了个奇妙的问题，假如能在有理数上安装一个红灯，无理数上安装个绿灯，接通电源，出现的现象是眼前是一条绿线几乎看不到红色。。。和平常认为的不同。。。偶然得知的。这就是有时候直观显得苍白，无限却充满矛盾啊。此矛盾岂直观能解决。愿对你有所帮助，加油，好好学习哈。

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