一道几何难题(求其简洁证明)如图,在△ABC中,令∠A=α,∠B=β,∠C=γ且α>β,AD,BE,CF是它的三条垂线,AP,BQ是两条角平分线,I,O分别是它的内心和外心.证明:点D,I,E共线当且仅当P,O,Q共线,当且仅当O,I
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/06/03 07:44:00
一道几何难题(求其简洁证明)
如图,在△ABC中,令∠A=α,∠B=β,∠C=γ且α>β,AD,BE,CF是它的三条垂线,AP,BQ是两条角平分线,I,O分别是它的内心和外心.证明:点D,I,E共线当且仅当P,O,Q共线,当且仅当O,I,F共线
(角A大于角B的假设不知道是怎么回事,我姑且假设ABC是锐角三角形.当A、B中有一个是钝角或直角的时候下面的证明可能也成立)
设ABC的三边为a、b、c,内径为r.从O向BC、CA、AB作垂线,垂足依次记作X、Y、Z.
我们将证明,这三个共线的条件都等同于
OX+OY=OZ
或者等价地,
cosA + cosB = cosC
(一)设OZ与PQ交于O'.则P、O、Q共线,等价于O'=O.
作O'X'垂直BC于X',O'Y'垂直CA于Y'.过P作CA的垂线,垂足为P',过Q作BC的垂线,垂足为Q'.
不难验证,
O'X'/Q'Q + O'Y'/P'P = 1
P'P = (a+b+c)r/(b+c)
Q'Q = (a+b+c)r/(a+c)
aO'X'+bO'Y'+cO'Z = r(a+b+c) = 2S(ABC)
由此可以解得
O'X'+O'Y' = O'Z
而当O'Z>OZ,则O'X'OZ,OX+OY>OZ;当O'Z
最苯但也是一定可行的办法:设出三角形三边,计算出所有线段,再用梅涅劳斯定理证明。
一道几何难题(求其简洁证明)如图,在△ABC中,令∠A=α,∠B=β,∠C=γ且α>β,AD,BE,CF是它的三条垂线,AP,BQ是两条角平分线,I,O分别是它的内心和外心.证明:点D,I,E共线当且仅当P,O,Q共线,当且仅当O,I
一道几何证明难题
一道数学几何难题初二.如图
请给我一道初一几何证明难题!请给我一道初一几何证明难题!
一道高一数学题(几何证明)如图.
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几何证明,难题
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一道初二的几何证明题,如图,点图
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如图:几何证明
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