学帮网1.证明方程x^4+4x+k=0至多只有两个相异实根2.证明恒等式：arcsinx+arxcosx=π/2(-1≤x≤1)3.拉格朗日中值定理证明：(α-β)/cos²β≤tanα-tanβ≤(α-β)/cos²α
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/15 07:58:16
1.证明方程x^4+4x+k=0至多只有两个相异实根
2.证明恒等式：arcsinx+arxcosx=π/2(-1≤x≤1)
3.拉格朗日中值定理证明：(α-β)/cos²β≤tanα-tanβ≤(α-β)/cos²α
1.f(x)=x^4+4x+k
f'(x)=4x^3+4=0---> x=-1
只有一个极值点X=-1,此为极小值点
f(-1)=k-3
若极小值大于0,则无实根
若极小值等于0,则只有实根-1
其极小值小于0,则只有两实根,1个大于-1,一个小于-1.
2.由x=cos(arccosx)=sin(π/2-arccosx)
两边取反正弦：arcsinx=π/2-arccosx
移项 arcsinx+arccosx=π/2
3.f(x)=tanx,f'(x)=(secx)^2,则由中值定理,存在a,b之间的c,有：
tana-tanb/(a-b)=f'(c)=1/(cosc)^2
tana-tanb=(a-b)/(cosc)^2
不妨设0
1 根据roll定理，每两个相异实根之间必有一点使得导数为0；
记f(x)=x^4+4x+k
假设方程有超过两个实根，（比如三个，x1
2 记f(x)=arcsinx+arxcosx;计算可知f'(x)...
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1 根据roll定理，每两个相异实根之间必有一点使得导数为0；
记f(x)=x^4+4x+k
假设方程有超过两个实根，（比如三个，x1
2 记f(x)=arcsinx+arxcosx;计算可知f'(x)=0,从而f为常数。而f(0)=π/2,所以f(x)=π/2;
3 不等式是有范围的，比如（0，π/2） 没有范围限制是不对的
不妨设π/2>α>β>0 (反之的话，α，β互换即可)
那么由largerange中值定理
tanα-tanβ=(α-β)/cos^2(c) 其中α>=c>=β (tanx)'=1/cos^2x;
利用π/2>x>0时cosx的单调性cosβ>=cosc>=cosα>0;
所以：(α-β)/cos²β≤(α-β)/cos^2(c)≤(α-β)/cos²α
这就是结论
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