学帮网函数单调性高手进,求你们了!已知函数f(x)的定义域为R,对于任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+1/2,且f(1/2)=0,当x>1/2时,f(x)>0.试判断f(x)在（－∞,＋∞）上的单调性．
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/04/28 18:28:48
函数单调性高手进,求你们了!
已知函数f(x)的定义域为R,对于任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+1/2,且f(1/2)=0,当x>1/2时,f(x)>0.试判断f(x)在（－∞,＋∞）上的单调性．
(草稿纸上,我给出背景函数：f(x)=x-1/2)
所以首先可以判断函数是单调递增的!
证明：
从定义出发：令x10时,有f(x)>-1/2,就能让上式>0
证明：
x>0时
x+1/2>1/2;
于是由已知得到：
f(x+1/2)>0,即f(x)+f(1/2)+1/2>0
得到：f(x)>-1/2
这样就证明了f(x)在R上单调递增
是单调递增
你用0.5和-0.5分别代替 n，M小于0时，再利用f(m-0.5）与f(m)差的符号来确定大小，并结合单调函数的概念来判断。M大于0时，利用f(m+0.5）与f(m)差的符号来确定大小，并结合单调函数的概念来判断。
由于符号切换太难打了，我计算机水平有限，就只能这样了...
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是单调递增
你用0.5和-0.5分别代替 n，M小于0时，再利用f(m-0.5）与f(m)差的符号来确定大小，并结合单调函数的概念来判断。M大于0时，利用f(m+0.5）与f(m)差的符号来确定大小，并结合单调函数的概念来判断。
由于符号切换太难打了，我计算机水平有限，就只能这样了
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增函数啊 画图可之 不确定的说
设y和x是实数范围内的任意两个自变量，但是 y > x
如果证明 f(y) - f(x) 恒大于0，则 f函数单调递增。
f(y) - f(x)
= f(y-x+x) - f(x)
= f(y-x) + f(x) + 1/2 - f(x)
= f(y-x) + 1/2
设 z = y-x ，则 z > 0
f(y) - f(x) = f(...
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设y和x是实数范围内的任意两个自变量，但是 y > x
如果证明 f(y) - f(x) 恒大于0，则 f函数单调递增。
f(y) - f(x)
= f(y-x+x) - f(x)
= f(y-x) + f(x) + 1/2 - f(x)
= f(y-x) + 1/2
设 z = y-x ，则 z > 0
f(y) - f(x) = f(z) + 1/2
f(z+1/2) = f(z) + f(1/2) + 1/2 = f(z) + 1/2
因为 z>0 ，所以 z+1/2 > 1/2
因为 “当x>1/2时，f(x)>0”，所以 f(z+1/2) > 0
即 f(z) + 1/2 > 0
f(z) > -1/2
所以 f(y) - f(x) = f(z) + 1/2 > 0
即 f(y) > f(x) ，
因此 f 函数在（－∞，＋∞）单调递增。
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任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+1/2,且f(1/2)=0,
令m=n=0,得出f(0)=-1/2;令m=n=1/2,得出f(1)=1/2
当x>1/2时，f(x)>0于是由已知得到：
f(x+1/2)>0,即f(x)+f(1/2)+1/2>0
得到：f(x)>-1/2
这样就证明了f(x)在R上单调递增