初等数论小问题 给下证明 x,y 互素 x+y,x-y 的最大公因数为1或2给下证明 x,y 互素 x+y,x-y 的最大公因数为1或2
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/06/03 17:08:25
初等数论小问题 给下证明 x,y 互素 x+y,x-y 的最大公因数为1或2
给下证明 x,y 互素 x+y,x-y 的最大公因数为1或2
1.已知(x,y)=1不能同为偶,故只能1奇一偶或同为奇.
2.设d=(x+y,x-y),则d|x+y, 且 d|x-y. d|2x, d|2y
3.若d不是1或2 ,则 (x,y)不为1,与已知矛盾.得证
不妨记为(x+y,x-y)=d,则d|2x且d|2y.因x,y 互素,固 (x,y)=1,所以必然有:
d|2.那么d=1或d=2。显然这两个结果都可能出现,当x,y奇偶性相同时d=2,反之d=1。
设(x+y,x-y)=n>2,则n|((x+y)+(x-y))即n|2x,n|((x+y)-(x-y))即n|2y。若n为奇数,则x,y有公因数n,与x,y互素矛盾;若n为偶数,则x,y有公因数n/2>1也与x,y互素矛盾。所以x+y,x-y 的最大公因数n<=2,当x,y同奇时n=2;当x,y奇偶性相异时n=1。得证...
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设(x+y,x-y)=n>2,则n|((x+y)+(x-y))即n|2x,n|((x+y)-(x-y))即n|2y。若n为奇数,则x,y有公因数n,与x,y互素矛盾;若n为偶数,则x,y有公因数n/2>1也与x,y互素矛盾。所以x+y,x-y 的最大公因数n<=2,当x,y同奇时n=2;当x,y奇偶性相异时n=1。得证
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