学帮网已知椭圆C的中心为原点O,F(1,0)是它的一个焦点,直线l经过点F与椭圆C交与A,B两点,l垂直于X轴,且OA*OB=5/6OA OB是向量求椭圆C方程
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/04/29 22:49:18
已知椭圆C的中心为原点O,F(1,0)是它的一个焦点,直线l经过点F与椭圆C交与A,B两点,l垂直于X轴,且OA*OB=5/6
OA OB是向量
求椭圆C方程
F1、F2为椭圆C：x^/a^+y^/b^=1(a>b>0)的左右焦点,直线l:y=2x+5与椭圆C交于P1、P2
已知椭圆中心O点关于直线l的对称点恰好落在C的左准线L撇上
求：
（2）已知向量F1P1*向量OF2,-5/9*a^2,向量F2P2*向量OF2成等差数列,求椭圆C的方程
2008-09-19 23:29 提高悬赏10分
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嘉励
[大师] 设原点O关天直线y=2x+5的对称点为O'(x0,y0)
则OO'的中点在直线y=2x+5上,则y0/2=x0+5.(1)
OO'与直线y=2x+5垂直,则OO'的斜率y0/x0=-1/2...(2)
解(1)(2)得x0=-4,y0=2
点O'在左准线上,则x0=-a^2/c=-4
所以c=a^2/4
设P1(x1,y1),P2(x2,y2)
把y=2x+5代入椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1中得:
(4a^2+b^2)x^2+20a^2x+25a^2-a^2b^2=0
x1+x2=-20a^2/(4a^2+b^2)
向量F1P1*向量OF2,-5/9*a^2,向量F2P2*向量OF2成等差数列
则2(-5a^2/9)=向量F1P1*向量OF2+向量F2P2*向量OF2
向量F1P1=(x1+c,y1)
向量OF2=(c,0)
向量F2P2=(x2-c,y2)
向量F1P1*向量OF2=(x1+c,y1)*(c,0)=(x1+c)*c+y1*0=(x1+c)c
向量F2P2*向量OF2=(x2-c,y2)*(c,0)=(x2-c)*c+y2*0=(x2-c)c
所以2(-5a^2/9)=(x1+c)c+(x2-c)c=x1c+x2c=(x1+x2)c
又x1+x2=-20a^2/(4a^2+b^2)
所以2(-5a^2/9)=-20ca^2/(4a^2+b^2)
即a^2/9=2ca^2/(4a^2+b^2)
把c=a^2/4代入上式解得:a^2=2b^2
又a^2=b^2+c^2=b^2+a^4/16
所以a^2=8,b^2=4
所以椭圆方程:x^2/8+y^2/4=1
设A(1,m)，B(1,-m)
OA??OB=1-m??m=5/6,
m=√6/6,
带入椭圆方程利用a??a=b??b+1求出m即可