求一道关于曲面面积的积分求曲面z=1+3x+2y^2 在 三角形 (0,0),(0,1),(2,1)上的表面积(0,0),(0,1),(2,1)是三角形的三个顶点
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/06/17 03:16:30
求一道关于曲面面积的积分
求曲面z=1+3x+2y^2 在 三角形 (0,0),(0,1),(2,1)上的表面积
(0,0),(0,1),(2,1)是三角形的三个顶点
dz/dx=3,dz/dy=4y.
所以,dS=√(1+(dz/dx)²+(dz/dy)²) dxdy=√(1+9+16y²) dxdy=√(10+16y²) dxdy
可以看出,dS与x无关,在三角形上积分x方向长度为2y,而且y的积分域是[0,1].
所以
S=∫ [0,1] 2y√(10+16y²)dy = 1/24 (10+16y²)^(3/2) | [0 1]=1/24 (26^(3/2)-10^(3/2)).
利用二重积分计算曲面面积,由z=1+3x+2y^2得z'x=3,z'y=4y,所以所求面积=∫∫[1+(z'x)^2+(z'y)^2]^(1/2)dxdy,其中积分区域D为三角形 (0,0), (0,1),(2,1)内部。计算积分=∫∫(10+16y^2)^(1/2)dxdy=∫dy∫(10+16y^2)^(1/2)dx (x积分限0到2y,y积分限0到1)=1/24 (26^(3/2)-10^(...
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利用二重积分计算曲面面积,由z=1+3x+2y^2得z'x=3,z'y=4y,所以所求面积=∫∫[1+(z'x)^2+(z'y)^2]^(1/2)dxdy,其中积分区域D为三角形 (0,0), (0,1),(2,1)内部。计算积分=∫∫(10+16y^2)^(1/2)dxdy=∫dy∫(10+16y^2)^(1/2)dx (x积分限0到2y,y积分限0到1)=1/24 (26^(3/2)-10^(3/2))
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