空间向量 (13 17:55:27)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E,F分别是AB,SC的中点.(1)求证:EF‖平面SAD.(2)若SD=2CD,求二面角A-EF-D的平面角的余弦值.
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/27 01:02:37
空间向量 (13 17:55:27)
如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E,F分别是AB,SC的中点.
(1)求证:EF‖平面SAD.
(2)若SD=2CD,求二面角A-EF-D的平面角的余弦值.
(1)因为E,F分别是AB,SC的中点.设DC的中点为M,连接EM、FM,得EM‖AD,FM‖SD,进而有平面SAD‖平面EFM,EF在平面EFM内.所以,EF‖平面SAD.
(2)以D为坐标原点,DC、DA、DS分别为x、y、z轴建立直角坐标系.D(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),S(0,0,4),B(2,2,0),E(1,2,0),F(1,0,2).向量DE=(1,2,0),向量DF=(1,0,2),向量AE=(1,0,0),向量AF=(1,-2,2).设平面AEF的法向量为向量m=(a,b,c),平面DEF的法向量为向量n=(e,f,g).有a=0,b=c,取b=c=1,即得向量m=(0,1,1);还有e+2f=0,e+2g=0,取f=g=1,得e=-2,向量n=(-2,1,1).向量m与向量n夹角的余弦值为(1+1)/(√2*√6)=√3/3,二面角A-EF-D的平面角的余弦值为-√3/3.
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