学帮网已知α∈(0,π/2),f(α)=1/sinα+8/cosα,则f(α)最小值为不要用均值不等式,等号不成立,不要求导,答案不是8和2根号65
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/13 05:23:54
已知α∈(0,π/2),f(α)=1/sinα+8/cosα,则f(α)最小值为
不要用均值不等式,等号不成立,不要求导,答案不是8和2根号65
凑出来了,好题目
思想如下：用n项的均值不等式,然后再用辅助角公式,等号成立条件有两个,但是n也是参数,所以等于是两个方程两个未知数,可能有解,且听我细细道来
首先8/cosα份数挺多,我想把它拆分成n等份,n是整数
即
f(α)=1/sinα+(8/n)/cosα+(8/n)/cosα+...+(8/n)/cosα
n个(8/n)/cosα
所以采用n+1项的均值不等式
(n+1)/(1/x1+1/x2+...+1/x(n+1))≤(x1+x2+...+x(n+1))/(n+1)
所以令x1=1/sinα,x2=x3=...=x(n+1)=(8/n)/cosα
再把分母的(n+1)移到另一边分子上
f(α)=1/sinα+(8/n)/cosα+(8/n)/cosα+...+(8/n)/cosα
≥(n+1)^2/[sinα+cosα/(8/n)+...+cosα/(8/n)]
=(n+1)^2/[sinα+(n^2/8)cosα]
要得到最小,则sinα+(n^2/8)cosα最大
利用辅助角t
tant=n^2/8
则
sinα+(n^2/8)cosα
=根号[1+(n^2/8)^2]sin(α+t)
最大时,参考α和t的范围有α+t=π/2
而不等式成立的条件是
1/sinα=(8/n)/cosα=...=(8/n)/cosα
即
tanα=(n/8)
而tant=tan(π/2-α)=cotα=1/tanα=n^2/8
所以n/8=1/(n^2/8)
n^3=64
n=4
很好,成功了
即tanα=1/2
所以sinα=1/根号5,cosα=2/根号5
f(α)最小值=5根号5
α=arctan(1/2)