关于余弦值的,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1、B B1的中点,则直线AM和CN所成角的余弦值

来源：学生作业学帮网编辑：学帮网时间：2024/05/06 00:08:16

关于余弦值的,
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1、B B1的中点,则直线AM和CN所成角的余弦值

我用向量法来解..
以D1为原点 D1A1为x轴 D1C1为y轴 D1D为z轴建立空间直角坐标系..
则A为（1,0,1）,M为(1,1/2,0),C为（0,1,1）,N为(1,1,1/2)..
所以向量AM为（0,1/2,-1）,向量CN为（1,0,-1/2）..
|AM|=√(0²+(1/2)²+(-1）²) =√5/2 （是2分之根号5）
|CN|=√（1²+0²+（-1/2）²）=√5/2
＊/由{a·b=|a|·|b|·cos;a·b=a,b向量内积（也就是向量内各单位向量的系数乘积的和）}得到公式 cos=(a·b)/（|a|·|b|）
（以上小写a,b均为向量） /＊
所以套在本题中..
a·b为：向量AM·向量CN=0*1+1/2*0+1/2=1/2
|a|·|b|为:|AM|·|CN|=(√5/2)*(√5/2)=5/4
所以得cos=(1/2)/(5/4)=2/5
所有空间几何题都可以用向量法来解的..高考中所有几何题都可以用向量法来解..（后期有些题需要用到法向量,估计你还没学）其实像这道题明显用向量法不如几何法简便..但是我已经习惯性的用向量法..因为高考没有简单的题..并且用这种方法虽然计算复杂但是省去了费脑筋想,做各种辅助线的时间~高考中时间就是分..不会做用这种方法多求几个值也是有分的!

在AB上取点E,使BE=1/4AB,连接EN、CE,易证BE//AM,直线AM和CN所成角等于角ENC，简称角N
棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,EN=根号5/4，CN=根号5/2
可知CE^=BE^+BC^=EN^+CN^-2*EN*CN*cos角N
CN^=BC^+BN^
EN^=BE^+BN^
2*EN*CN*cos角N=2*BN^=1/2
cos角N=2/5