学帮网已知m＞0,n＞0且m,x,n成等差数列,m,a,b,n成等比数列,求证2x≥a＋b
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/06 01:46:40
已知m＞0,n＞0且m,x,n成等差数列,m,a,b,n成等比数列,求证2x≥a＋b
证明：
m,x,n成等差数列,∴2x=m+n
m,a,b,n成等比数列 ∴ab=mn,设a=mq,b=mq²,c=mq³,q>0
∴ 2x-(a+b)
= (m+n)-(a+b)
=(1+q³)-(q+q²)
=(1+q)(1-q+q²)-q(1+q)
=(1+q)(1-2q+q²)
=(1+q)(1-q)²≥0
∴ 2x≥a+b
证明：设m,a,b,n等比数列比为q,则a=mq b=mq² n=mq^3
a+b=mq+mq² =m(1+q)q
因为m、x、n成等差数列
所以2x=m+n
2x=m+n=m+mq^3=m(1+q^3)=m(1+q)(1-q+q² )=m(1+q)[(1-2q+q²+q )]=m(1+q)[(1-q)²+...
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证明：设m,a,b,n等比数列比为q,则a=mq b=mq² n=mq^3
a+b=mq+mq² =m(1+q)q
因为m、x、n成等差数列
所以2x=m+n
2x=m+n=m+mq^3=m(1+q^3)=m(1+q)(1-q+q² )=m(1+q)[(1-2q+q²+q )]=m(1+q)[(1-q)²+q ]
因为(1-q)²+q ≧q
所以2x=m(1+q)[(1-q)²+q ]≧m(1+q)q=a+b
所以2x≧a+b
收起
因为m,x,n成等差数列，所以2X＝m+n,面m,a,b,n成等比数列，设等比为q，所以q小于等于1，所以有
a=mq，b=mq2，n=mq3，所以(m+n)-(a+b)=m(q+1)(1-q)2≥0，所以(m+n) ≥(a+b)，所以2X≥a+b
m,x,n成等差数列
2x=m+n 代入下式
2x≥a＋b
m+n≥a+b m,a,b,n成等比数列 令公比为r
m+mr^3≥mr+mr^2
1+r^3≥r+r^2
(r+1)(r^2-r+1)≥r(r+1)
r^2-r+1≥r
r^2-2r+1≥0
(r-1)≥0
此式成立， 所以 按此推倒的假设也成立，即原式求证成立