问一道超级BT的数学题 求证 (ln1)^2 +(ln2)^2+…………+(lnn)^2>(n-1)^4/4n^3 n>2 n属于N*问一道超级BT的数学题求证 (ln1)^2 +(ln2)^2+…………+(lnn)^2>(n-1)^4/4n^3 n>2 n属于N*
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/27 02:33:04
问一道超级BT的数学题 求证 (ln1)^2 +(ln2)^2+…………+(lnn)^2>(n-1)^4/4n^3 n>2 n属于N*
问一道超级BT的数学题
求证 (ln1)^2 +(ln2)^2+…………+(lnn)^2>(n-1)^4/4n^3 n>2 n属于N*
数列Tn=ln1/1^2+ln2/2^2+ln3/3^2+.+lnn/n^2 求证Tn<=2n^2-n+1/4(n+1)
下面用单调性证明
考察函数f(x)=lnx-x+1,(x>1),其导数f'(x)=(1-x)/x<0,这样f(x)在x>1上单调减少
又 f(x)可在x=1处连续,故f(x)>f(1)=0,这样就得到了lnx
这里取n^2(>1)替换x便得到lnn^2
即 (lnn^2)/n^2<1-[1/n-1/(n+1)]
累加取n from 2 to n 得
2ln2/2^2+2ln3/3^2+...+2lnn/n^2 <(n-1)-(1/2-1/(n+1))=(2n^2-n-1)/[2(n+1)]
两边除以2即得ln1/1^2+ln2/2^2+ln3/3^2+.+lnn/n^2<(2n^2-n-1)/[4(n+1)]< (2n^2-n+1)/[4(n+1)]
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