初中数学奥林匹克竞赛题一幢楼有n级台阶,可以一步上一个台阶,也可以一步上两个台阶,则该楼房有多少种走法?（设为An),并求A1997=?这道题的问题是求A1997被整除后的余数是多少？以及A1+A2+A3+.

初中数学奥林匹克竞赛题
一幢楼有n级台阶,可以一步上一个台阶,也可以一步上两个台阶,则该楼房有多少种走法?（设为An),并求A1997=?
这道题的问题是求A1997被整除后的余数是多少？以及A1+A2+A3+......+A1997被7整除后的余数是多少？

即斐波那契数列,“斐波那契数列”的发明者,是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci,生于公元1170年,卒于1240年.籍贯大概是比萨）.他被人称作“比萨的列昂纳多”.1202年,他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书.他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人.他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事,派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区,列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学.他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学.
斐波那契数列指的是这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21……
这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和.它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的.
【该数列有很多奇妙的属性】
比如：随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……
还有一项性质,从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1.
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块,拼成一个5*13的长方形,故作惊讶地问你：为什么64＝65?其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项,事实上前后两块的面积确实差1,只不过后面那个图中有一条细长的狭缝,一般人不容易注意到.
如果任意挑两个数为起始,比如5、-2.4,然后两项两项地相加下去,形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等,你将发现随着数列的发展,前后两项之比也越来越逼近黄金分割,且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值.
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数.
【斐波那契数列别名】
斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.
斐波那契数列
一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来.如果所有兔都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子?
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是一对;
两个月后,生下一对小兔民数共有两对;
三个月以后,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对;
－－－－－－
依次类推可以列出下表：
经过月数：0123456789101112
兔子对数：1123581321345589144233
表中数字1,1,2,3,5,8－－－构成了一个数列.这个数列有关十分明显的特点,那是：前面相邻两项之和,构成了后一项.
这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的,这个级数的通项公式,除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性质外,还可以证明通项公式为：an=1/√[（1＋√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.）
【斐波那挈数列通项公式的推导】
斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21……
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+).那么这句话可以写成如下形式：
F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
显然这是一个线性递推数列.
通项公式的推导方法一：利用特征方程
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5,C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
通项公式的推导方法二：普通方法
设常数r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1, -rs=1
n≥3时,有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘,得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r,F(1)=F(2)=1
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
【C语言程序】
main()
{
long fib[40] = {1,1};
int i;
for(i=2;i

请看这两篇文章
http://zhidao.baidu.com/question/61134474.html?si=1
http://zhidao.baidu.com/question/1881245.html

http://zhidao.baidu.com/question/61134474.html?si=1
http://zhidao.baidu.com/question/1881245.html

(1)An=C(n,0)+C(n-1,1)+...+C((n+1)/2,(n-1)/2), (n是奇数)
An=C(n,0)+C(n-1,1)+...+C(n/2+1,n/2-1), (n是偶数)
理论依据：走n步，其中有0步是两级。
走n-1步，其中有1步是两级。
……
A1997直到C(1001,996)这一项都能被7整除。
所以余数...

全部展开

(1)An=C(n,0)+C(n-1,1)+...+C((n+1)/2,(n-1)/2), (n是奇数)
An=C(n,0)+C(n-1,1)+...+C(n/2+1,n/2-1), (n是偶数)
理论依据：走n步，其中有0步是两级。
走n-1步，其中有1步是两级。
……
A1997直到C(1001,996)这一项都能被7整除。
所以余数是1000*999*998+999除以7，余6.
(2)这个数列有A(n+1)=An+A(n-1). （可以证明，写不动了）
前面的A1,A2,A3...分别除7余：
1,2,3,5,1,6,7,6,6,5,4,2,6,1,7,1,1（从这里循环回来了）,2,3,....一个循环共16项，到1997是124个循环又13项。
（这样也能证明1997余的是6）
这16项的和是7的整数倍（感谢上苍），所以到1997时，余数是
1+2+3+5+1+6+......+2+6=54,除7余5。
所以答案是5.

收起

简单的数列问题。
但是如果是初中问题的话，我鄙视出题的人。怎么可以把数列问题拿到初中来？！？！
提示是A(n+1)=An + A（n-1），用特征方程解题估计你现在听不懂

黄金分割=(根号5-1)/2

An=1000种，得数是285000.42857142857142857142857143

好久没玩奥数了，今天看到手痒痒，这是一道组合题，初中应该不讲，不知道你知不知道排列组合的基本知识（http://baike.baidu.com/view/738955.html?wtp=tt）你需要学一下，不然没法做。余数则是数论问题。

Cn,m表示m个数中取n个

An=C0,n+C1,n-1+C2,n-2+...+C(n-1)/2,(n+1)/2   (n为奇数）

An=C0,n+C1,n-1+C2,n-2+...+Cn/2,n/2    (n为偶数）

将n换为1997，公式见图，A1997= 2的（1997+1)/2次方 -1=（2^996）-1=(8^332)-1

模7（即除以7）同余（1^332)-1 =0，所以余数是0

A1+A2+A3+......+A1997被7整除后的余数同理，A1=2^1-1=1除7余1

A2=2^1=2除7余2……

7个数为一周期，1997/7=285……2，1+2+3+4+5+6+7=28除7余0

所以A1+A2+A3+......+A1997被7整除后的余数是2