一道定积分题目 上限是x,下限是0式子是∫(x-t)f(t)dt用换元做,
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/16 10:37:38
一道定积分题目 上限是x,下限是0
式子是∫(x-t)f(t)dt
用换元做,
f(x)=sinx-∫(x-t)f(t)dt
f(x)=sinx- x ∫ f(t)dt + ∫ t f(t)dt
对x求导得
f '(x) =cosx -[ ∫ f(t)dt +x f (x) ] + x f (x)
即f '(x) =cosx - ∫ f(t)dt
再对x求导得
f ''(x) =-sinx - f(x)
即f ''(x) + f(x)= - sinx
令f(x)=y
即y'' + y =-sinx
再求出微分方程的解回带即可
http://zhidao.baidu.com/question/242319459.html
附上微分方程的解 “仅” 做参考
1 通解r^2+1=0, C1*sinx+C2*cosx
2 特解1/(D^2+1)*sinx
=Im(1/(D+i)/(D-i)*exp(ix))
=Im(exp(ix)/2i/D*1
=Im(x*exp(ix)/(2i))
=Im(x(cosx+isinx)/(2i))
=-x*cos(x)/2
你可以验证一下 diff(-x*cos(x)/2,2)+(-x*cos(x)/2)=sin(x)
3 所以其解为 -x*cos(x)/2+C1*sinx+C2*cosx
即f(x)= -x*cos(x)/2+C1*sinx+C2*cosx
具体的C1,C2值由f(0),f' (0)的值作为条件
自己找一下条件,算一下吧
说实话这方程解的有点恶心,呵呵
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