已知a>0,b>0,a+b=2,求y=1/a+4/b的最小值

来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/04 17:50:09

已知a>0,b>0,a+b=2,求y=1/a+4/b的最小值

y=1/a +4/b
=[(1/2)(a+b)]/a +2(a+b)/b
=(1/2)(1+ b/a) +2(a/b +1)
=(1/2)(b/a) +2(a/b) +5/2
由均值不等式得,当(1/2)(b/a)=2(a/b)时,即a/b=1/2时,(1/2)(b/a)+2(a/b)有最小值2
此时,y有最小值ymin=2+ 5/2=9/2

y=1/a+4/b
=1/2*2*(1/a+4/b)
=1/2*(a+b)(1/a+4/b)
>=1/2*(1+2)^2 (柯西不等式)
=9/2
所以y的最小值是9/2