学帮网已知三角形ABC的三个顶点都在椭圆x^2/20+y^2/16=1上,且点A的坐标为（0,4）.这个三角形的重心与椭圆的右焦点重合,求直线BC的方程
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/07 20:11:41
已知三角形ABC的三个顶点都在椭圆x^2/20+y^2/16=1上,且点A的坐标为（0,4）.这个三角形的重心与椭圆的右焦点重合,求直线BC的方程
设:BC的中点为D(X,Y),右焦点(重心)为F,B点坐标(X1,Y1),C点坐标(X2,Y2),
∵A=(0,4),F=(2,0)
∴2=(0+2X)/(1+2)===>X=3,0=(4+2Y)/(1+2)===>Y=-2,∴D=(3,-2)
∴X1+X2=6,Y1+Y2=-4
∵x²/20+y²/16=1可化为:4x²+5y²=80
∴4X1²+5Y1²=80……(1) 4X2²+5Y2²=80……(2)
∴(1)-(2):4(X1+X2)(X1-X2)+5(Y1+Y2)(Y1-Y2)=0
====>4*6(X1-X2)-5*4(Y1-Y2)=0====>(Y1-Y2)/(X1-X2)=6/5
∴直线BC的斜率=6/5
∴直线BC的方程为:y-(-2)=(6/5)(x-3)====>6x-5y-28=0
a^2=20,b^2=16,c^2=4,c=2,所以F2（2,0）设B(x1,y1) C(x2,y2)
重心坐标相当于三个顶点坐标和的1/3
焦距(2,0) = ((x1+x2)/3,(y1+y2+4)/3)===>x1+x2=6,y1+y2=-4
设l:y=kx+c 则将*(x1,y1),(x2,y2)分别代入后两边相加
y1+y2=k(x1+x2)+2c==...
全部展开
a^2=20,b^2=16,c^2=4,c=2,所以F2（2,0）设B(x1,y1) C(x2,y2)
重心坐标相当于三个顶点坐标和的1/3
焦距(2,0) = ((x1+x2)/3,(y1+y2+4)/3)===>x1+x2=6,y1+y2=-4
设l:y=kx+c 则将*(x1,y1),(x2,y2)分别代入后两边相加
y1+y2=k(x1+x2)+2c===>-3k=c+2
将以上l的解析式与椭圆联立，消去y得到一个稍麻烦点的方程，然后化简
(懒了)直接算出x1+x2=(-10kc)/(4+5k^2)=6
最后结果k=6/5,c=-28/5
PS：好久没计算了，但是思路应该没错。会头再仔细算算就O了
收起