两点之间线段最短,如何证明呢?各路数学兴趣爱好者,数学大牛们,有空来帮帮忙吧,希望能起到抛砖引玉的作用,别告诉我这是公理,它应该可以用其他知识推导出来的...希望再来回答的人,先看

两点之间线段最短,如何证明呢?
各路数学兴趣爱好者,
数学大牛们,
有空来帮帮忙吧,
希望能起到抛砖引玉的作用,
别告诉我这是公理,它应该可以用其他知识推导出来的...
希望再来回答的人,先看看别人的回复,再做出自己的回答
多说些有价值的,

首先,几何中研究的曲线都是分段光滑的,像处处连续处处不可导的函数不在考虑范围内.
如果路径是光滑的,设方程为x=f(t),y=g(t),a

任何的证明方式都需要比较的``

加个前提吧：平面之上。否则曲面上就没这回事了。
“首先，几何中研究的曲线都是分段光滑的，像处处连续处处不可导的函数不在考虑范围内。
如果路径是光滑的，设方程为x=f(t),y=g(t),a<=t<=b，则长度等于f(t)导数和g(t)导数平方和的平方根从a到b的积分，用变分法可以证明积分值最小当且仅当路径为直线；
如果路径不光滑但分段光滑，可以对每一段进行上面的步骤。 ”...

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加个前提吧：平面之上。否则曲面上就没这回事了。
“首先，几何中研究的曲线都是分段光滑的，像处处连续处处不可导的函数不在考虑范围内。
如果路径是光滑的，设方程为x=f(t),y=g(t),a<=t<=b，则长度等于f(t)导数和g(t)导数平方和的平方根从a到b的积分，用变分法可以证明积分值最小当且仅当路径为直线；
如果路径不光滑但分段光滑，可以对每一段进行上面的步骤。 ”
——这个答案是伪证明，因为如果用到了解析几何，即必然会将自己建立在“两点间线段最短”的隐含前提。
楼主这个其实可以看作是公理，不可证明。要证明就不能用解析几何，否则“坐标”这个概念本身就是建立在这个公理上的。要证明，就从欧式几何的最原始公理推——当然你是推不出来的。
P.S: 九楼SwalOlow说得对。我这个是就欧式几何而论的，他那个以黎曼流形对欧式几何的解释，其实更靠近数学的“根基”。

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不说别的。自己做实验也能证明出来吧~找几根绳子试试就知道啦~~

三角形两边之和一定大于第三边

这个是公理！无需证明的~附上相关笑话一则~
老师：“‘两点之间直线最短’这个公理是不用证明的，大家都承认，放之四海皆准～”
一同学问：“那可不可以证明呢？”
老师：“你要证明也未尝不可，你在10米外放一根骨头，然后把狗放开，它肯定是笔直地跑到骨头跟前，不会拐弯不会绕道的。狗都知道这个道理，还有什么需要证明的呢？”
晕倒，很多证明都直接或者间接的利用了 两点之间...

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这个是公理！无需证明的~附上相关笑话一则~
老师：“‘两点之间直线最短’这个公理是不用证明的，大家都承认，放之四海皆准～”
一同学问：“那可不可以证明呢？”
老师：“你要证明也未尝不可，你在10米外放一根骨头，然后把狗放开，它肯定是笔直地跑到骨头跟前，不会拐弯不会绕道的。狗都知道这个道理，还有什么需要证明的呢？”
晕倒，很多证明都直接或者间接的利用了 两点之间直线最短 这个命题本身！！
用自己去证明自己的正确性，你们逻辑也太强了吧？

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如果你硬要是把公理说成不是公理，你就是你的不对了。两点之间线段最短就是公理。他不是用其他知识推导出来的。像三角形两边之和大于第三边就是这条公理推导出来的。
五大几何基本公理：
两点之间，线段最短；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
同位角相等，两直线平行；
两直线平行，同位...

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如果你硬要是把公理说成不是公理，你就是你的不对了。两点之间线段最短就是公理。他不是用其他知识推导出来的。像三角形两边之和大于第三边就是这条公理推导出来的。
五大几何基本公理：
两点之间，线段最短；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
同位角相等，两直线平行；
两直线平行，同位角相等。

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加个前提，要在同一平面内！否则，在空间中的两点间的距离不是最短！

To philip_freedom:
这个是否成立和是不是平面没有直接关系，只和度量的定义有关。既然需要距离，当然必须是黎曼流形，所以距离总可以看成黎曼度量的积分。要把欧氏平面看成黎曼流形，黎曼度量的定义就是dx和dy平方和的平方根，所以我上面的方法可行。如果改变度量的定义，测地线仍可以用变分法求，但结果不一样。即使还是平面上，如果变欧氏度量为双曲度量，仍然是黎曼流形，但两点之间距离最短...

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To philip_freedom:
这个是否成立和是不是平面没有直接关系，只和度量的定义有关。既然需要距离，当然必须是黎曼流形，所以距离总可以看成黎曼度量的积分。要把欧氏平面看成黎曼流形，黎曼度量的定义就是dx和dy平方和的平方根，所以我上面的方法可行。如果改变度量的定义，测地线仍可以用变分法求，但结果不一样。即使还是平面上，如果变欧氏度量为双曲度量，仍然是黎曼流形，但两点之间距离最短的就变成了半圆。
所谓欧氏几何就是把(R^n,欧氏度量)看成黎曼流形后的几何，所以欧氏几何中的所谓公理都可以在这个框架下“证明”。如果局限于欧氏几何的框架，你说的完全正确，这个就是公理，不可证明

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三角形的两边之和大于第三边就是最好证明，如果还不明白就别再学数字了

“三角形两边之和大于第三边”是由“两点之间线段最短”证出来的，不能反过来证。除非你修改欧氏几何的公理体系，把后者替换为前者

用三角形三边关系证 三角形两边之和大于第三边

在欧氏几何中是公理http://baike.baidu.com/view/880869.htm
在非欧几何中可以证明http://baike.baidu.com/view/17594.htm?fr=ala0
在开放空间中两点之间曲线最短http://baike.baidu.com/view/5205.htm?fr=ala0

平行线最短

这世界上的东西，不是你想怎么样就怎么样的。公理就是公理，不是你想证明就能证明的。

一定要证明的话，那就用定积分[线积分]来证明吧[以盾击矛]。
将曲线方程写成参数方程形式x=f(t)，y=g(t)。
利用线元dr={[f'(t)]²+[g'(t)]²}dt求区间[a,b]上的定积分即可得出曲线AB长度。
特别地，当且仅当曲线为直线时，这个积分值最小。亦即，两点之间直线最短。...

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一定要证明的话，那就用定积分[线积分]来证明吧[以盾击矛]。
将曲线方程写成参数方程形式x=f(t)，y=g(t)。
利用线元dr={[f'(t)]²+[g'(t)]²}dt求区间[a,b]上的定积分即可得出曲线AB长度。
特别地，当且仅当曲线为直线时，这个积分值最小。亦即，两点之间直线最短。

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我们先假设这条定理是错误的 ,那么则在平面内至少存在一条已知两点间的曲线比这两点间的线段更短.
然后在这条曲线上找一个任意点，连接两端点（线段B和C）。这样出现一个三角形。因为两边之和大于第三边，所以线段A短于B+C。而这对于B和C 又可以继续细分曲线做出类似的线段EF 和GH，B>E+F, C>G+H....所以最后证明线段A是最短的。...

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我们先假设这条定理是错误的 ,那么则在平面内至少存在一条已知两点间的曲线比这两点间的线段更短.
然后在这条曲线上找一个任意点，连接两端点（线段B和C）。这样出现一个三角形。因为两边之和大于第三边，所以线段A短于B+C。而这对于B和C 又可以继续细分曲线做出类似的线段EF 和GH，B>E+F, C>G+H....所以最后证明线段A是最短的。

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这里有证明:
http://tieba.baidu.com/f?kz=507260379
另参见
http://tieba.baidu.com/f?kz=142095162

加个前提，同一平面内．

如果空间不是扭曲的...

反正法 化三角形
（不过公理是没办法证的 因为证明他也会用到某些用它引发出来的定理）

你说的没错，这个绝对是可以用其他知识推导出来。
不过这个证明过程就犹如证明1+1=2一样困难，不是说只用微积分，只用什么定理就可以证明的，是要用很多定理公式，还都不能是从“两点之间直线最短”为前提推导出来的公式定理和推导方式。
如果真是有志于此，那么恭喜你，你现在就开始研究，或许二十年后你就能解决这个问题了，而不是在这里用180分就可以悬赏的来的，可能到时候你的草稿纸也会堆满一屋子...

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你说的没错，这个绝对是可以用其他知识推导出来。
不过这个证明过程就犹如证明1+1=2一样困难，不是说只用微积分，只用什么定理就可以证明的，是要用很多定理公式，还都不能是从“两点之间直线最短”为前提推导出来的公式定理和推导方式。
如果真是有志于此，那么恭喜你，你现在就开始研究，或许二十年后你就能解决这个问题了，而不是在这里用180分就可以悬赏的来的，可能到时候你的草稿纸也会堆满一屋子，你也会得诺贝尔奖，就像人类工业革命发明蒸汽机一样，你在数学界也会受到万人敬仰，成为数学界的超级大师。
或许今天你可以引到一些玉，但我相信能在百度知道里闲逛的人一定不是那种数学狂人，而这样的问题通常只有数学狂人方能解决，所以如果真是感兴趣那就潜心修炼吧。

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用微积分和反证法。。把一条线段分成无数段每一段可以看成线段。。根据三角形两边之和大于第三边来证明。。其相邻两条线段必然小于或等于其端点之间的线段。。以此类推两条端点的连线必然小于或等于在微分下的所有线段之和。。讲的很抽象但不是很难。。lz不懂可以提问。。谢谢...

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用微积分和反证法。。把一条线段分成无数段每一段可以看成线段。。根据三角形两边之和大于第三边来证明。。其相邻两条线段必然小于或等于其端点之间的线段。。以此类推两条端点的连线必然小于或等于在微分下的所有线段之和。。讲的很抽象但不是很难。。lz不懂可以提问。。谢谢

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三角形两边之和大于第三边

三角形的两边之和大于第三边就是最好证明

自己做实验也能证明，找几根绳子试试就知 (*^__^*) 嘻嘻

你的说法有问题。这么说吧，一个理论的建立是需要有一些合理的假设的，然后根据这些假设，这个理论才能发展起来。
具体到我们通常探讨的欧氏几何，欧几里德在他的《几何原本》中提出了平面几何的如下五大共设：
公设1：任意一点到另外任意一点可以画直线
公设2：一条有限线段可以继续延长
公设3：以任意点为心及任意的距离可以画圆
公设4：凡直角都彼此相...

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你的说法有问题。这么说吧，一个理论的建立是需要有一些合理的假设的，然后根据这些假设，这个理论才能发展起来。
具体到我们通常探讨的欧氏几何，欧几里德在他的《几何原本》中提出了平面几何的如下五大共设：
公设1：任意一点到另外任意一点可以画直线
公设2：一条有限线段可以继续延长
公设3：以任意点为心及任意的距离可以画圆
公设4：凡直角都彼此相等
公设5：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和下于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。
这五大共设后来成为了几何学最基本的假设，然后我们所有的平面几何的定理都是基于这些假设发展起来的。实际上，很多定理跟这些公理是等价的。
回到你的问题，这是公理没错，这可以用其他方法推出来也没错。但你的想法错误在于混淆了一个理论框架的源和流。
如果你学过一点点线性代数的知识的话，你可以认为这些定理是一组基，张成整个平面欧式几何的理论空间。当然，这些基是可以转换的，也就是向你说的可能以用其它理论代替它们，但这里的代替是没有意义的。
个人的理解，欢迎探讨。

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我来，如下图，按题要求是要证明A、B两点的最短距离是AB线段。下面用反证法证明：
假设最短距离并不是线段AB，而是曲线，由于曲线可以化直，即化为一小段一小段的直线组成，因此可以先证明只有一个折点的情况。如下图，设折点为C，由C作CD⊥AB于D，则AC=AD/COSA，BC=BD/COSB。
由于C不在AB上，故∣COSA∣<1， 则AC>AD，BC>BD，则AC+BC>AD+BD=...

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我来，如下图，按题要求是要证明A、B两点的最短距离是AB线段。下面用反证法证明：
假设最短距离并不是线段AB，而是曲线，由于曲线可以化直，即化为一小段一小段的直线组成，因此可以先证明只有一个折点的情况。如下图，设折点为C，由C作CD⊥AB于D，则AC=AD/COSA，BC=BD/COSB。
由于C不在AB上，故∣COSA∣<1， 则AC>AD，BC>BD，则AC+BC>AD+BD=AB。故假设不成立，原命题得证。、
如果有多个折点（弯曲线是无穷多个折点），比如AC间还有折点E，同样可以用上述一个折点方法证AE+CE>AC.
严格的证明方法 :
反证法，假设最短线不是线段AB，而是一空间或平面折线AC1C2...Ci...CnB（注：圆弧线也可以用极限法化为折线，即所谓的化曲为直思想），于是可由点C1，C2...Ci...Cn分别向AB线段所在的直线作垂线，交AB所在直线于D1，D2...Di...Dn.由三角形斜边大于直角边得AC1>AD1,C1C2>D1D2...CnB>DnB.各不等式左右分别相加得折线AC1C2...Ci...Cn>AB，证毕.

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你做几个拱形，拱形弧度自己定，最好从小到大，且跨度相等，再拿一张长度和拱形跨度相等的纸条，将拱形摊开后就可以比较长度了，我们老师就是这么教我们的。

楼主 nodoubts 当然知道这是公理。
楼主的目的显然是为了激发大家对数学的探索精神。
就是公理也要敢于问个为什么！
赞楼主！

扔一根骨头，你看狗会不会绕着去追呢？这就是万物都遵循的哲理。

三角形就是个很好的例子。

两点之间最短距离为0.
这里有个虫洞。。。

两点之间的连线可能是线段、折线和曲线。
先证明线段比折线短吧。
根据三角形的两边之和一定大于第三边，就可证明出线段比折线短。
再证明折线比曲线短。
根据内切与圆的多边形周长一定比圆短，就可证明了。
综合起来，就是两点之间线段最短。...

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两点之间的连线可能是线段、折线和曲线。
先证明线段比折线短吧。
根据三角形的两边之和一定大于第三边，就可证明出线段比折线短。
再证明折线比曲线短。
根据内切与圆的多边形周长一定比圆短，就可证明了。
综合起来，就是两点之间线段最短。

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