【数学】关于用微积分计算面积时出现负数的问题例如求函数f(x)=-2x+4在区间[2,5]上与x轴围成的面积,应该是:S=∫f(x)dx[2,5]……中括号为上下界,下同=-x^2+4x|[2,5]=(-25+20)-(-4+8)=-9------------------------
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/06/05 05:58:24
【数学】关于用微积分计算面积时出现负数的问题
例如求函数f(x)=-2x+4在区间[2,5]上与x轴围成的面积,应该是:
S=∫f(x)dx[2,5]……中括号为上下界,下同
=-x^2+4x|[2,5]
=(-25+20)-(-4+8)
=-9
--------------------------------------------------------------
结果是负数,很明显这是因为围成的三角形在x轴下方.这样的题在解答是应该最开始就把积分变量换成[5,2]再积,还是直接加一步S=|-9|=9?
答:
面积的话,用绝对值,而且不是对S用,是对被积函数用.
S=∫|-2x+4|dx[2,5]
=∫2x-4 dx[2,5]
有时候还要分段.
比如这题如果换一个区间,换成[0,5]
画图像,显然[0,2]部分在x轴上方,[2,5]部分在x轴下方:
S=∫|-2x+4dx|dx[0,5]
=∫-2x+4 dx[0,2]+∫2x-4 dx[2,5]
要注意分段.
直接加一步S=|-9|=9,也可以一开始求积分的时候给-2x+4加绝对值符号,然后就等于2x-4了,在对2x-4在【2,5】积分,求出来的就是正的了
应该求|f(x)|在[a,b]上的积分。
你所说的先看结果正负,再决定积分范围的方法 只在f不变号的时候成立。
如果你积的部分有正有负,比如-2x+4在【1,3】的积分,那么无论是从1积分到3还是3积分到1,积分内部都会正负抵消成0。
换成[5,2]?你是在搞笑吧?这样表示是错的,我的建议是加个绝对值符号,要是有一部分在X轴上面一部分在下面就分段来写,最好的方法是把图像画出来,这样一目了然不容易出错
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