求函数值域f(x)=1/(1 - e^-x)- 1/x (x>0)无限逼近的函数该如何求最值
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/06/06 03:00:17
求函数值域
f(x)=1/(1 - e^-x)- 1/x (x>0)
无限逼近的函数该如何求最值
x 趋向正无穷大时,
limf(x)=1
x趋向0时
limf(x)=0.5
故 0.5
f(x)=1/(1 - e^-x)- 1/x
=e^x/(e^x - 1)- 1/x
=(e^x-1+1)/(e^x - 1)- 1/x
=1+1/(e^x - 1)- 1/x
当x趋于无穷大时,1/(e^x - 1)和1/x两个式子都为零了,所以f(x)的最大值为1.
当x趋近于0时,f(x)为负无穷大,所以f(x)的值域为(-∞,1).
搞错了,应该是(0.5,1) ;用罗比达法则
做一下换元,令e^x-1=t,即x=ln(1+t),那么1/(1 - e^-x)- 1/x =1+1/t-1/ln(1+t),(t>0).
1.利用洛必达法则(或泰勒公式)可求得f(x)趋向0的极限值为1/2.
2.根据0
3.由ln(t+1)>(2*t)/(t+2)(t>0时),(这步用导数验证)得1+1/t-1/ln(...
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做一下换元,令e^x-1=t,即x=ln(1+t),那么1/(1 - e^-x)- 1/x =1+1/t-1/ln(1+t),(t>0).
1.利用洛必达法则(或泰勒公式)可求得f(x)趋向0的极限值为1/2.
2.根据0
3.由ln(t+1)>(2*t)/(t+2)(t>0时),(这步用导数验证)得1+1/t-1/ln(1+t)>1/2(t>0时)
所以f(x)有上确界1和下确界1/2,但无最大值和最小值。
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