学帮网1的1次方+2的2次方+……+2005的2005次方
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/05 19:55:06
1的1次方+2的2次方+……+2005的2005次方
楼上真无语,乱误导人
N次方的尾数,0、1、5、6是不变的,即每1个为循环；4、9是每2个为循环；剩下的2、3、7、8是每4个为循环.
再将2005个数按尾数分.
1的1次方+11的11次方+21的21次方+……+2001的2001次方的尾数,为201个1,就是1.
2的2次方+12的12次方+22的22次方+……+2002的2002次方的尾数,共202个,等同于2的2次方+2的4次方+2的2次方+……+2的4次方的尾数,等于(4+6)*101的尾数,为0.
全部算出来,再加起来.
原题应为1的1次方加上2的2次方一直加到2005的2005次方所得之和除以10, 余数是多少.
由于只看除以10所得的余数, 所以只有个位数是有用的.
设1^1+2^2+...+10^10的个位数为S,
则11^11+...+20^20, 21^21+...+30^30, ...
..., 1990^1990+...+1999^1999+2000^2000 的个位...
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原题应为1的1次方加上2的2次方一直加到2005的2005次方所得之和除以10, 余数是多少.
由于只看除以10所得的余数, 所以只有个位数是有用的.
设1^1+2^2+...+10^10的个位数为S,
则11^11+...+20^20, 21^21+...+30^30, ...
..., 1990^1990+...+1999^1999+2000^2000 的个位数都是S.
故1^1+...+2000^2000的个位数 = 200S的个位数 = 0
故1^1+...+2005^2005的个位数
=2001^2001+...+2005^2005 的个位数
=1^1+...+5^5的个位数
1^1的个位=1
2^2的个位=4
3^3的个位=7
4^4的个位=16^2的个位=6^2的个位=6
5^5的个位=5
1^1+...+5^5的个位数 = (1+4+7+6+5)的个位数 = 3.
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原题应为1的1次方加上2的2次方一直加到2005的2005次方所得之和除以10, 余数是多少.
1）1^1+2^2+...+2005^2005为奇数；
2）由费马小定理 5不整除a时，a^4≡1 mod5，
∴1^1+5^5+9^9+…+2005^2005≡1+5+9+…+2005≡1+5+100(9+13+17+21+25)≡1+5≡1 mod5;
2^2+6^...
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原题应为1的1次方加上2的2次方一直加到2005的2005次方所得之和除以10, 余数是多少.
1）1^1+2^2+...+2005^2005为奇数；
2）由费马小定理 5不整除a时，a^4≡1 mod5，
∴1^1+5^5+9^9+…+2005^2005≡1+5+9+…+2005≡1+5+100(9+13+17+21+25)≡1+5≡1 mod5;
2^2+6^6+10^10+…+2002^2002≡2^2+6^2+10^2+…+2002^2≡2^2+100(6^2+10^24+14^2+18^2+22^2)≡4 mod5;
同理3^3+7^7+11^11+…+2003^2003≡3^3≡2 mod5；
4^4+8^8+12^12+…+2004^2004≡4^4≡1 mod5，
相加得1^1+2^2+...+2005^2005≡3 mod5
由1）2）得1^1+2^2+...+2005^2005≡3 mod10，故个位为3
另法
2）由费马小定理 5不整除a时，a^4≡1 mod5，
∴1^1+2^2+3^3+…+2005^2005≡1^1+2^2+3^3+4^4+5^1+6^2+7^3+8^4+…+2005^1=(1^1+2^2+3^3+4^4+5^1)+[6^2+7^3+…+25^1]+[(6+20)^2+[(7+20)^3+…+(25+20)^1]+…+[(6+20*99)^2+…+(25+20*99)^1]（4与5的最小公倍数为20）≡(1+4+2+1+0)+100*[6^2+7^3+…+25^1]≡3 mod5,
由1）2）得1^1+2^2+...+2005^2005≡3 mod10，故个位为3。
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