已知a>0,b>0 a+b=2则y=1/a+4/b的最小值 每一步的原因

来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/08 08:32:14

已知a>0,b>0 a+b=2则y=1/a+4/b的最小值 每一步的原因

利用a+b=2做题 a+b=2可以化为 (a+b)/2=1 代入方程的 y=(a+b)/2*(1/a+4/b)=(a+b)/2a+2(a+b)/b=1/2+b/2a+2a/b+2 因为a>0,b>0所以 b/2a+2a/b》1 所以y=1/2+2+b/2a+2a/b》1/2+2+1=7/2


∵ a+b=2
∴ 2(1/a+4/b)
=(a+b)(1/a+4/b)
=1+4a/b+b/a+4
≥5+2√[(4a/b)(b/a)] (基本不等式)
=9
当且仅当 4a/b=b/a时,
(与a+b=2联立,得到 a=2/3,b=4/3)
即 a=1,b=2时等号成立
∴ 2(1/a+4/b)的最小值是9<...

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∵ a+b=2
∴ 2(1/a+4/b)
=(a+b)(1/a+4/b)
=1+4a/b+b/a+4
≥5+2√[(4a/b)(b/a)] (基本不等式)
=9
当且仅当 4a/b=b/a时,
(与a+b=2联立,得到 a=2/3,b=4/3)
即 a=1,b=2时等号成立
∴ 2(1/a+4/b)的最小值是9
∴ 1/a+4/b的最小值是9/2

收起

y=(1/a)+(4/b)
=[(1/a)+(4/b)][(a/2)+(b/2)]
=(1/2)+2+(2a/b)+(b/2a)≥(5/2)+2√[(2a/b)*(b/2a)]=9/2