已知数列{an}满足a(n+1)=2an-an²/2,a1=1,求证an≤2且求an的通项公式

来源：学生作业学帮网编辑：学帮网时间：2024/04/29 11:26:40

说一下思路好吗?
等式右边的通分,然后等式左右都倒过来,就是都变成倒数的意思,最后等式右边裂项就可以了,不懂可以追问

a(n+1)=2an-an²/2
a(n+1)-2=2an-an²/2-2=(-1/2)(an²-4an+4)=(-1/2)(an-2)²
平方项恒非负，(an-2)²≥0，又-1/2<0，因此(-1/2)(an-2)²恒≤0
a(n+1)-2≤0
a(n+1)≤2
又a1=1<2，因此an≤2

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a(n+1)=2an-an²/2
a(n+1)-2=2an-an²/2-2=(-1/2)(an²-4an+4)=(-1/2)(an-2)²
平方项恒非负，(an-2)²≥0，又-1/2<0，因此(-1/2)(an-2)²恒≤0
a(n+1)-2≤0
a(n+1)≤2
又a1=1<2，因此an≤2
an≤2，2-an≥0
若an=2，则a(n+1)=2×2-2²/2=4-2=2，即数列若有一项=2，则以后各项均=2，也即若an≠2，则以后各项均≠2，a1=1≠2，因此an<2
log2[2-a(n+1)]=log2[(1/2)(2-an)²]=2log2(2-an) -1
log2[2-a(n+1)]-1=2log2(2-an)-2=2[log2(2-an)-1]
{log2[2-a(n+1)]-1}/[log2(2-an)-1]=2，为定值。
log2(2-a1) -1=log2(2-1) -1=0-1=-1
数列{log2(2-an) -1}是以-1为首项，2为公比的等比数列。
log2(2-an) -1=(-1)×2^(n-1)=-2^(n-1)
an=2-2^[1-2^(n-1)]

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周期性数列问题i已知数列｛an}满足a(n+1)=2an (0 已知数列an满足1/a-an=2根号n,且an>0.求an的通项公式是数列{an}满足1/an-an=2根号n，且an>0，求an的通项公式。已知数列an满足条件a1=-2 a（n+1）=2an/(1-an) 则an= 已知数列an满足a1=1,a(n+1)=an/(3an+2),则an=? 已知数列an满足a1=2,an=a(n-1)+2n,（n≥2）,求an 已知数列an满足:a1=1,an-a(n-1)=n n大于等于2 求an 已知数列{an}满足a1=33,a(n+1)-an=2n,则an/n的最小值已知数列{an}满足a1=33,a（n+1）-an=2n,求an/n的最小值已知数列an满足a1=100,a(n+1)-an=2n,则(an)/n的最小值为已知数列{an}满足a(n+1)=an+n,a1=1,则an= 已知数列{an}满足an+1=2an+3.5^n,a1=6.求an 已知数列{an}满足a1=2,a(n+1)-an=a(n+1）*an,则a31=? 已知数列{An}满足A(n+1)=【2An (0 已知数列｛an｝满足a(n+1)=an+3n+2,且a1=2,求an=? 已知数列an满足a(n+1)=an+3n+2,且a1=2,求an 已知数列｛An｝满足a1=1,a（n+1）=2an+1 求证数列{an+1}是等比数列求数列｛an｝通式已知数列{an}满足a(n+1)=an+lg2,a1=1,求an 已知数列｛an｝满足：a1=1,且an-a（n-1）=2n.求a2,a3,a4.求数列｛an｝通项an