学帮网数学定积分和三角函数的问题1.∫(1+㏑x)/xdx=_____ 积分范围是[1,e],（打不出上下标）2.已知sinα+sinβ=1/4 cosα+cosβ=1/3求tan(α+β)的值
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/07 23:45:41
数学定积分和三角函数的问题
1.∫(1+㏑x)/xdx=_____ 积分范围是[1,e],（打不出上下标）
2.已知sinα+sinβ=1/4 cosα+cosβ=1/3
求tan(α+β)的值
∫(1+lnx)/xdx
=∫1+lnxdlnx
=∫dlnx+∫lnxdlnx
=lnx+(ln²x)/2|
=lne+(ln²e)/2-[ln1+(ln1)/2]
=1+1/2-(0+0)
=3/2
sinα+sinβ=1/4
(sinα+sinβ)²=1/16
sin²α+2sinαsinβ+sin²β=1/16
cosα+cosβ=1/3
(cosα+cosβ)²=1/9
cos²α+2cosαcosβ+cos²β=1/9
两式相加
sin²α+2sinαsinβ+sin²β+cos²α+2cosαcosβ+cos²β=1/16+1/9
(sin²α+cos²α)+(sin²β+cos²β)+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=25/144
2+2cos(α-β)=25/144
cos(α-β)=-263/288
两式相减
cos²α+2cosαcosβ+cos²β-(sin²α+2sinαsinβ+sin²β)=1/9-1/16
(cos²α-sin²α)+(cos²β-sin²β)+2(cosαcosβ-sinαsinβ)=7/144
cos(2α)+cos(2β)+2cos(α+β)=7/144
2cos(α+β)cos(α-β)+2cos(α+β)=7/144
[1+cos(α-β)]cos(α+β)=7/288
(1-263/288)cos(α+β)=7/288
cos(α+β)=7/25
原式相乘
(sinα+sinβ)(cosα+cosβ)=1/12
sinαcosα+sinβcosβ+sinαcosβ+cosαsinβ=1/12
[sin(2α)+sin(2β)]/2+sin(α+β)=1/12
sin(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)=1/12
[1+cos(α-β)]sin(α+β)=1/12
(1-263/288)sin(α+β)=1/12
sin(α+β)=24/25
tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)=(24/25)/(7/25)=24/7