AB是圆O的直径,AE为弦,C为弧AE的中点,CD垂直AB于D,交AE于F,BC交AE于G,求证：AF=FG

来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/05 02:17:42

AB是圆O的直径,AE为弦,C为弧AE的中点,CD垂直AB于D,交AE于F,BC交AE于G,求证：AF=FG

证明：
连接AC
因为C是弧AE的中点
所以弧AC＝弧EC
所以∠CAE＝∠ABC
因为直径AB垂直平分弦CN
所以弧AC＝弧AN
所以∠ACN＝∠ABC
所以∠ACN＝∠CAE
所以AG＝CG
因为AB是直径
所以∠ACB＝90,即∠ACN＋∠BCN＝90
因为∠AGC＋∠CAE＝90
所以∠BCN＝∠AGC
所以FG＝CG
所以AF＝FG

本题关键在于证明AF=CF和CF=FG
其中，前者通过两次三角形全等来证明，
后者通过证明△FCG为等腰三角形来证明：
连接OC交AE于H
则OC⊥AE
∵OC=OA，∠AOH=∠COD
∴Rt△AHO≌Rt△CDO
∴AH=CD
OD=OH
又OF为△ODF和△OHF的公共边
∴Rt△ODF≌Rt△OHF
则...

全部展开

本题关键在于证明AF=CF和CF=FG
其中，前者通过两次三角形全等来证明，
后者通过证明△FCG为等腰三角形来证明：
连接OC交AE于H
则OC⊥AE
∵OC=OA，∠AOH=∠COD
∴Rt△AHO≌Rt△CDO
∴AH=CD
OD=OH
又OF为△ODF和△OHF的公共边
∴Rt△ODF≌Rt△OHF
则FD=FH
得AH-FH=CD-FD
即AF=CF
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB
∠CGF=∠GBA+∠GAB=∠OCB+∠OCD=∠BCD
△FCG为等腰三角形
CF=FG
∴AF=FG

收起

本题关键在于证明AF=CF和CF=FG
其中，前者通过两次三角形全等来证明，
后者通过证明△FCG为等腰三角形来证明：
连接OC交AE于H
则OC⊥AE
∵OC=OA，∠AOH=∠COD
∴Rt△AHO≌Rt△CDO
∴AH=CD
OD=OH
又OF为△ODF和△OHF的公共边
∴Rt△ODF≌Rt△OHF
则...

全部展开

本题关键在于证明AF=CF和CF=FG
其中，前者通过两次三角形全等来证明，
后者通过证明△FCG为等腰三角形来证明：
连接OC交AE于H
则OC⊥AE
∵OC=OA，∠AOH=∠COD
∴Rt△AHO≌Rt△CDO
∴AH=CD
OD=OH
又OF为△ODF和△OHF的公共边
∴Rt△ODF≌Rt△OHF
则FD=FH
得AH-FH=CD-FD
即AF=CF
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB
∠CGF=∠GBA+∠GAB=∠OCB+∠OCD=∠BCD
△FCG为等腰三角形
CF=FG
∴AF=FG
证明：
连接AC
因为C是弧AE的中点
所以弧AC＝弧EC
所以∠CAE＝∠ABC
因为直径AB垂直平分弦CN
所以弧AC＝弧AN
所以∠ACN＝∠ABC
所以∠ACN＝∠CAE
所以AG＝CG
因为AB是直径
所以∠ACB＝90，即∠ACN＋∠BCN＝90
因为∠AGC＋∠CAE＝90
所以∠BCN＝∠AGC
所以FG＝CG
所以AF＝FG

收起

AB是圆O的直径,C为弧AE的中点,CD垂直AB于D,交AE于点F,连接AC,求证：AE=CF. 如图AB是圆O的直径,AE为弦,C为弧AE的中点,CD垂直AB于点D,交AE于点F,BC交AE于点G求证CF=GF AB是圆O的直径,AE为弦,C为弧AE的中点,CD垂直AB于D,交AE于F,BC交AE于G,求证：AF=FG 如图AB是圆O的直径,AE为弦,C为弧AE的中点,CD垂直AB于点D,交AE于点F,BC交AE于点F,求证AF=CF. 如图,ab是圆o的直径,弦ae,bd相交于c,且d是弧ae的重点,ab=5,bd=4,求sin角ecb的值d为弧ae中点。 AB为圆O的直径,C为弧AE中点,CD⊥AB于D,交AE于F,连接AC请说明AF=CF 如图,AB是圆O的直径,C为弧AE的中点,CD⊥AB于D,交AE与点D,交AE于点F,求证AF-CF AB是圆O的直径,以OA为直径的圆C与弦AD相交于点E,求证AE=ED 今晚就要 AB是圆O的直径,CD切圆O于点C,CD垂直于AE,垂足为D,AE交BC的延长线于E,求证：AE=AB 如图,AB为半圆O的直径,AE为⊙O的一条弦,C为的中点,若AE＝a,CD⊥AB于D 求CD的长．如图,AB为半圆O的直径,AE为⊙O的一条弦,C为弧AE的中点,若AE＝a,CD⊥AB于D求CD的长．(多种方法) 如图,ab是圆o的直径,cd是圆o的一条弦,cd垂直ab,垂足为f,点c为弧ae的中点.1,求证ag=cg=gh 2,猜想cd和ae的数量关系,说明理由；若af=8,of=5,求ae的长图 已知AB是圆O的直径,AE是弦,C是弧AE的中点,CD垂直AB交与点D,交AE于点F,CB交AE于点G.求证CF=FG 已知ab为圆o的直径,cd是弦,且ab垂直于点e,连结ac、oc、bc求证2：若EB=8cm,CD=24cm,求圆O的直径 如图所示AB是⊙O的直径,C为弧AB的中点,CD垂直AB于D,交AE于F,连接AC,求证：AF=CF. 如图,已知AB和CD是⊙O上的两条直径,AE为弦,若AE//CD,求证DE弧=DB弧. 如图,OA是圆O的半径,以OA为直径的圆C与圆O的弦AB相交于点D,连OD并延长交圆O于点E,求证:弧BE=AE 已知,AB为半圆O的直径,CD垂直于AB于D,C为弧AB中点,弦AE交CD于F,求证AF等于CE AB为圆O的直径,C为弧AE的中点,CD垂直BE于D,判断DC于圆O位置关系, A B是圆O上的两点 C是劣弧AB的中点 连结并延长至D 使AC=CD 连结DB并延长交圆O于E 连结AE求证AE为圆O直径