学帮网已知圆O:X2+Y2=1和定点A (2,1),由圆O外一点P(a,b)像圆O引切线PQ,切点为Q,且满足绝已知圆O：X2+Y2=1和定点A (2,1),由圆O外一点P（a,b）像圆O引切线PQ,切点为Q,且满足绝对值的PQ=绝对值的PA（1）求证：动
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/07 16:41:39
已知圆O:X2+Y2=1和定点A (2,1),由圆O外一点P(a,b)像圆O引切线PQ,切点为Q,且满足绝
已知圆O：X2+Y2=1和定点A (2,1),由圆O外一点P（a,b）像圆O引切线PQ,切点为Q,且满足绝对值的PQ=绝对值的PA
（1）求证：动点P在一条顶直线上,并求出定直线方程；
（2）求线段PQ长的最小值；
1)PA^2=PQ^2=po^2-r^2
(a-2)^2+(b-1)^2=a^2+b^2-1
4a+2b-5=0
定直线方程4x+2y-5=0
2)当A,P,Q在一条直线,PQ有最小,即AQ为切线
此时AQ^2=AO^2-r^2=4
AQ=2
PQmin=AQ/2=1
：（Ⅰ）连OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2=|OP|2-|OQ|2．
又由已知|PQ|=|PA|，故|PQ|2=|PA|2，即a2+b2-1=（a-2）2+（b-1）2，
化简得实数a、b间满足的等量关系为：2a+b-3=0．
（Ⅱ）由2a+b-3=0，得b=-2a+3．
∴|PQ|2=a2+b2-1=a2+（-2a+3）2-1=5a2-12a+...
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：（Ⅰ）连OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2=|OP|2-|OQ|2．
又由已知|PQ|=|PA|，故|PQ|2=|PA|2，即a2+b2-1=（a-2）2+（b-1）2，
化简得实数a、b间满足的等量关系为：2a+b-3=0．
（Ⅱ）由2a+b-3=0，得b=-2a+3．
∴|PQ|2=a2+b2-1=a2+（-2a+3）2-1=5a2-12a+8=5（a-65）2+45，
故当a=65时，|PQ|min=2
55，即线段PQ长的最小值为2
55．
（Ⅲ）设⊙P的半径为R，OP设⊙O有公共点，⊙O的半径为1，
∴|R-1|≤|OP|≤R+1，R≥|OP|-1，且R≤|OP|+1．
而|OP|2=a2+b2=a2+（-2a+3）2=5（a-65）2+95，
故当a=65时，|PO|min=3
55，此时b=-2a+3=35，Rmin=3
55-1，
得半径取最小值时，⊙P的方程为（x-65）2+（y-35）2=（3
55-1）2
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