2011广东省初中数学竞赛决赛解答题第二题已知a,b,c是三角形的三边；p,q是两个实数且p+q=1,请问pa²+qb²-pqc²的符号并说理由.

来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/04/28 19:57:53

2011广东省初中数学竞赛决赛解答题第二题
已知a,b,c是三角形的三边；p,q是两个实数且p+q=1,请问pa²+qb²-pqc²的符号并说理由.

pa2+qb2-pqc2
=pa2+(1-p)b2-p(1-p)c2
=b2+pa2-pb2-pc2+p2c2
=b2+p(a2-b2-c2)+p2c2
=b2+p(-2bc*cosA)+p2c2
关于p的二次函数,c2>0,开口向上
判别式=4b2c2cos2A-4b2c2=4b2c2(cos2A-1)
-1

正号
带入特定数字吧
令a,b,c分别为3,4,5
p=1/2，q=1/2，或者p=0，q=1，
经过运算，代数表达式>0
用2ab<=......<=a²+b²<........
我记不得了。老师有做讲过。他只说p+q=1，不能“p=1/2，q=1/2，或者p=0，q=1”这样分类吧，再加上也不一定是直角三角形...

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正号
带入特定数字吧
令a,b,c分别为3,4,5
p=1/2，q=1/2，或者p=0，q=1，
经过运算，代数表达式>0
用2ab<=......<=a²+b²<........
我记不得了。老师有做讲过。

收起

原式=pa2+qb2-pq(a2+b2)
=pa2+qb2-pa2-qb2
=0
不难啊

楼上的解法是正确的。我也只会用这种方法做。中间运用到了余弦定理。初中没有学过。不过一些初中竞赛书里面有介绍。

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