学帮网解析几何题 【急】过椭圆(x^2)/4+(y^2)/3=1的左焦点f的直线l交椭圆于A B两点,交直线x=-4于点C,是O为坐标原点 向量OA+向量OC=2*向量OB 求三角形OAB面积
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/13 05:11:08
解析几何题 【急】
过椭圆(x^2)/4+(y^2)/3=1的左焦点f的直线l交椭圆于A B两点,交直线x=-4于点C,是O为坐标原点 向量OA+向量OC=2*向量OB 求三角形OAB面积
向量OA+向量OC=2向量OB,向量OA+AB=OB,OC+CB=OB,
二式相加,OA+OC+AB+CB=2OB,故AB+CB=0,而A、B、C三点共线,故B是AC的中点,
c=√（4-3）=1,左焦点坐标为（-1,0）,离心率e=c/a=1/2,
椭圆左准线为x=-a^2/c=-4, x=-4是左准线方程,作AM和BN垂直左准线,左准线与X轴相交于Q,|QF|=-1-（-4）=3,
根据椭圆第二定义,|AF|=|MA|e, |BF|=|BN|e,B是AC的中点,|NB|=|MA|/2, |AB|=|AF|+|BF|=3e|BN|=3|BN|/2,…..(1)
设AB的倾角为α,C点坐标为（-4,m）,|BC|=|AB|,tanα=|CQ|/|QF|=|m|/3,
cosα=3/√（9+m^2）,
|BN|= cosα|CB|=[3/√（9+m^2）]|AB|,对比（1）式,
|BN|=[3/√（9+m^2）]*3|BN|/2,
m=±3√5/2,考虑上下对称性,先取m为负值,
cosα=2/3,
|AB|=(2b^2/a)/[1-e^2(cosα)^2]=27/8,
AB方程为：y/(x+1)=(- 3√5/2)/(-4+1),
y/(x+1)= √5/2,x√5/2-y+√5/2=0,
原点至AB距离h=|√5/2|/√（9/4）=√5/3,
∴S△OAB=|AB|*h/2=(27/8)* (√5/3)/2=9√5/16.另取m为3√5/2时结果相同,
若用弦长公式做,方法如下：
AB方程为：y=x√5/2+√5/2,k=√5/2,
代入原方程得：8x^2+10x-7=0,
根据韦达定理,x1+x2=-5/4, x1*x2=-7/8,
根据弦长公式|AB|=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1*x2]
=√(1+5/4)(25/16+7/2)=(3/2)*(9/4)=27/8,
原点至AB距离h=|√5/2|/√（9/4）=√5/3,
∴S△OAB=|AB|*h/2=(27/8)* (√5/3)/2=9√5/16.