在线 证明1+2+4+…+2的5N-1次方可以被31整除谢谢了

来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/24 09:31:20

在线 证明1+2+4+…+2的5N-1次方可以被31整除
谢谢了

(1+2+2^2+2^3+2^4)+2^5(1+2+2^2+2^3+2^4)+……+2^5(N-1)(1+2+2^2+2^3+2^4)=31[1+2^5+……+2^5(N-1)]
致老梁,表告我^看不懂.

你应该把符号的含义都标示清楚..

等于（1－2的5N次方）/1-2＝2^5N-1=32^N-1是被31整除的
因为32^N-1＝（32—1）【1+32^1＋32^2+....32^(N-1)】显然是被31整除的

1+2+4+…+2^(5n-1)=2^(5n)-1=32^n-1（利用等比数列求和公式）
只要证明31│32^n-1即可。
下面提供2种思路。
思路一:利用二项式定理
32^n-1=(31+1)^n-1
=31^n+C(31,1)31^30+……+C(31,29)31^2+C(31,30)31
所以31│32^n-1
思路二：利用同余式

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1+2+4+…+2^(5n-1)=2^(5n)-1=32^n-1（利用等比数列求和公式）
只要证明31│32^n-1即可。
下面提供2种思路。
思路一:利用二项式定理
32^n-1=(31+1)^n-1
=31^n+C(31,1)31^30+……+C(31,29)31^2+C(31,30)31
所以31│32^n-1
思路二：利用同余式
因为32≡1(mod31)，所以32^n≡1(mod31)，即31│32^n-1
证毕！

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