试证方程2^x=3有且仅有一个根

来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/06 04:07:32

试证方程2^x=3有且仅有一个根

证明可以分两步,一是证明有根,二是证明根是唯一的.
证明：令f(x)=2^x-3
则f(1)=-10
显然由介值定理知在区间(1,2)内方程有一根.
再来证明唯一性
若方程有两不同的实根x1,x2
则f(x1)=f(x2)
因为两根不相等,不妨设x1>x2
由函数的单调性知f(x1)>f(x2).显然矛盾.
故根是唯一的.命题得证.

首先要说的是一楼同学做的真的非常好，在此我再给出另一种做法。

不妨设f(x)=2^x，g(x)=3，这两个函数如果只有一个交点那么命题得证。

易知这两个函数图像，它们的确真的只有一个交点呢，并且交点坐标为(log(2)3,3)。就是横坐标是以2为底3的对数，纵坐标是3。

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