学帮网已知一个圆的半径R,求这个圆的内接正n边形的周长和面积填表：正六边形 十二 二十四 规律内接n正边形内接正n边形的周长内接正n边形的面积
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/08 06:38:35
已知一个圆的半径R,求这个圆的内接正n边形的周长和面积
填表：正六边形 十二 二十四 规律
内接n正边形
内接正n边形的周长
内接正n边形的面积
正六边形 十二 二十四 规律
周长 6R 24Rsin15度 48Rsin度 2nRsin
面积 3根3R方 3R方2 12R方sin15度 2分之1nR方2sin
正六边形：
分别连接圆心与相邻的两个顶点，组成的三角形为正三角形
则边长为圆半径2Rsin30°。
则周长为6R，
面积为6个正三角形面积和=√3R^2/4*6=3√3R^2/2
正十二边形：
分别连接圆心与相邻的两个顶点，组成的三角形为等腰三角形
底角为75°。顶角为30°
则边长为圆半径2Rsin15°。
则周长为24Rs...
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正六边形：
分别连接圆心与相邻的两个顶点，组成的三角形为正三角形
则边长为圆半径2Rsin30°。
则周长为6R，
面积为6个正三角形面积和=√3R^2/4*6=3√3R^2/2
正十二边形：
分别连接圆心与相邻的两个顶点，组成的三角形为等腰三角形
底角为75°。顶角为30°
则边长为圆半径2Rsin15°。
则周长为24Rsin15°，
面积为12个等腰三角形面积和=R^2sin15°cos15°*12=3R^2
正二十四边形：
分别连接圆心与相邻的两个顶点，组成的三角形为等腰三角形
底角为82.5°。顶角为15°
则边长为圆半径2Rsin7.5°。
则周长为48Rsin15°，
面积为24个等腰三角形面积和=R^2sin7.5°cos7.5°*24=12R^2sin15°
规律：对于正n边形。
周长为：2nRsin（180°/n）
面积：1/2nR^2sin（360°/n）
方法可以按照我上面的推导！
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圆心到正n边形所有顶点的连线都是半径，长度为R。这些连线将正n边形分成了n个全等的等腰三角形。这样，每个三角形的顶角为360/n, 腰长为R。
所以，正n边形周长=n*2*sin(360/n/2)*R=2*n*R*sin(180/n)
三角形面积公式为：S=1/2*边长*边长*sin(这两边夹角)
所以，正n边形面积=n*1/2*R*R*sin(360/n)...
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圆心到正n边形所有顶点的连线都是半径，长度为R。这些连线将正n边形分成了n个全等的等腰三角形。这样，每个三角形的顶角为360/n, 腰长为R。
所以，正n边形周长=n*2*sin(360/n/2)*R=2*n*R*sin(180/n)
三角形面积公式为：S=1/2*边长*边长*sin(这两边夹角)
所以，正n边形面积=n*1/2*R*R*sin(360/n)
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