学帮网任意凸四边形的两条对角线长分别为L1,L2.两条对角线所夹锐角为&.求证：四边形面积S=1/2*L1*L2*sin&
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/04/27 05:24:17
任意凸四边形的两条对角线长分别为L1,L2.两条对角线所夹锐角为&.求证：四边形面积S=1/2*L1*L2*sin&
作AE、CF垂直BD
S△ABD=1/2×BD×AE S△BCD=1/2×BD×CF在Rt△AOE和Rt△COF中可得BD=sin&×OC CF=sin&×AO 则S四边形ABCD= 1/2×BD×AE+1/2×BD×CF=1/2BD×（sin&×AO+sin&×OC ）=1/2L1×L2×sin&
s=1/2*absin&
引理：
对于一个三角形ABC，面积S=1/2*AB * AC * sinA
设这两条对角线为AC，BD，交点为O。
则S=1/2（AO*OB*sinα+AO*OD*sinα+CO*OD*sinα+OC*OB*sinα)
∴S=1/2*L1*L2*sinα
过任意凸四边形的对角线L1的两对角向L2作垂线，以L2为底的两个三角形的面积之和为任意凸四边形的面积，两个三角形高的和为L1*sin& 则四边形面积S=1/2*L1*L2*sin&
三角形的面积公式：S=1/2*a*b*sin∠C
这个四边形被两条对角线分割成4个三角形。面积S就是四个三角形面积和。按这个思路算。至于那个公式可能你会说没见过。不过可以直接用的。以后老师会给你讲这个公式。
现在的题看起来，怎么如此的难呢
楼主你好：
其实三角形有个面积公式是1/2×absinC，即任意两边乘积再乘夹角的正弦的一半，知道这个公式，也就不难证明该题了。由对角线所分成的四个三角形使用此公式求面积，即可求得S=1/2*L1*L2*sin&
希望能帮到你 ^_^
注：1/2*l1*l2*sin夹角 是高中公式，初中用必须先推导
延长一边作以对角线为一边的平行四边形，四边形的面积就等于以对角线长夹起来的那个三角形的面积了，根据三角形面积公式，就可以得到S=1/2*L1*L2*sin&了。（从结果出发，很容易就能想到要做辅助线使得到一个三角形）
第一点：S=1/2absinC（公式 记住就行）
第二点：互补的角正弦相同
第三点：取被分成的四个小三角形中的一个，那么面积就是1/2(1/2L1)*(1/2L2)sinX
所以整个面积就是小三角形的四倍，就是答案啦