已知函数f(x)=bx+c/(ax^2+1)(a,c∈R,a>0,b是自然数)是奇函数,f(x)有最大值1/2,且f(1)>2/5(1)f(x)=x/(x^2+1)(2)是否存在直线l与y=f(x)的图像交于P.Q两点,并且使得P.Q两点关于点(1,0)对称,若存在,求出直线l的方程,
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/26 19:43:24
已知函数f(x)=bx+c/(ax^2+1)(a,c∈R,a>0,b是自然数)是奇函数,f(x)有最大值1/2,且f(1)>2/5
(1)f(x)=x/(x^2+1)
(2)是否存在直线l与y=f(x)的图像交于P.Q两点,并且使得P.Q两点关于点(1,0)对称,若存在,求出直线l的方程,若不存在,说明理由
首先题目有问题,bx+c应该加上括号.
1.由于是奇函数,f(x)=-f(-x),得到c=0,于是f(x)=bx/(ax^2+1).
由于ax^2+1>=2x乘以根号a,且等号在x=1/根号a时总能取到,故
f(x)<=b/2倍根号a=1/2,得到a=b^2,又f(1)=b/(b^2+1)>2/5,而b为自然数,只能是1,所以得证.
2.函数图像如下,要是存在这个点的话,由图可知,BC平行于x轴且BC=2,设B坐标(m,n),则f(m)=f(m+2),解得m=1/3,则A(-1/3,-3/10),C(7/3,3/10),直线AC满足条件,方程为y=9/40(x-1).
不过这条直线与图像有三个交点,如果只能有两个交点的话,这样的直线是不存在的.
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